Exercice de cinématique du point

Bonsoir, voici un exercice encore laissé sans correction.

Du coup, voici ma résolution, pouvez-vous me corriger?

Voici un point M, dans un repère orthonormée (O, i, j), défini par : $\vec{OM}(t) = (\omega t + 2 \sin(\omega t)) \vec{i} + 2(1 - \cos(\omega t))\vec{j}$.

Voici les questions :

a) Calculer le vecteur vitesse

b) Quelle sont les instants où la tangente à la trajectoire est horizontale?

c) Calculer la norme de la vitesse. Pour quels points cette vitesse est-elle extremum?

d) Calculer le vecteur accélération

e) Déterminer les intervalles de temps durant lesquels le mouvement est accéléré et ceux durant lesquels le mouvement est décéléré.

f) Cette trajectoire a-t-elle des symétries particulières?

g) A partir de l’expression de la vitesse du point M, montrer que le mouvement est composé de deux mouvements simples.

a) Je trouve $\vec{v}(M,t) = (\omega + 2 \omega \cos(\omega t))\vec{i} + 2 \omega \sin(\omega t) \vec{j}$.

b) Hum, cette question, j’ai un peu de mal. J’ai dans l’idée que la tangente est horizontale si et seulement si $2 \omega \sin(\omega t) = 0$ (auquel cas la vitesse, tangente à la trajectoire, n’est dirigé que selon l’axe x).

c) Je trouve : $||\vec{v}(M,t)|| = \omega \sqrt{4\cos(\omega t) + 5}$.

Pour la deuxième partie en revanche, j’ai aussi du mal.

d) Je trouve $\vec{\gamma}(M,t) = (-2\omega^2 \sin(\omega t)) \vec{i} + 2\omega^2 \cos(\omega t)\vec{j}$

e) Je calcule $\dfrac{d||\vec{v}(M,t)||}{dt} = \dfrac{-4\omega^2sin(\omega t)}{2\sqrt{4\cos(\omega t) + 5}}$ qui est du signe du numérateur.

Donc le mouvement est décéléré pour $t \in \bigcup_{k \in \mathbb Z} ]\dfrac{-\pi}{\omega} + 2k\pi, 2k\pi[$ et accéléré pour $t \in \bigcup_{k \in \mathbb Z} ]2k\pi, \dfrac{\pi}{\omega} + 2k\pi[$.

Oulà je suis certain d’avoir écris une grosse bêtise ici, vous m’excuserez.

Pour les deux question restantes, j’ai vraiment du mal aussi. Que veulent-t-ils dirent par "deux mouvements simples"?

Je vous remercie du temps consacré à la lecture et à la réponse à mon message.

Je suis d’accord avec le message de @MichelPro : tes réponses sont correctes pour les questions a) à d) selon mes calculs.
Juste une remarque de notation : on note plus généralement la vitesse d’un point comme ceci : $\vec v_M(t)$. Il en va de même pour $\vec \gamma_M(t)$.

Je vous remercie pour l’attention accordée à mon exercice.

Du coup, la question b) est-elle juste?

Et pour la deuxième partie de la question c)? J’ai dans l’idée que la vitesse admet des extremums pour $\cos(\omega t) = \pm 1$ soit $t = \dfrac{k\pi}{\omega}$.

Quant à la toute dernière question, je serai tenter de ré-écrire : $\vec{v}_M(t) = \omega \vec{i} + 2 \omega \cos(\omega t) \vec{i} + 2 \omega \sin(\omega t) \vec{j}$ mais j’ai du mal à conclure.

Merci pour vos réponses!