Loi de conservation de l'énergie

Bonjour,

dans mon cours, il est écrit :

La loi conservation de l’énergie est l’une des relations les plus importantes en physique car elle traduit l’invariance par rapport aux temps des lois de Newton ou l’hypothèse d’un temps uniforme.

Quelqu’un peut-il avoir la gentillesse d’expliquer?

C’est une conséquence du théorème de Noether. Celui-ci dit

À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l’intégrale d’action correspond une grandeur qui se conserve.

Tu n’as rien compris, c’est normal, moi non plus. En termes simples, il y a équivalence entre la conservation d’une grandeur et la symétrie du système. À chaque grandeur conservée correspond une symétrie, et réciproquement.

En pratique, dire que les lois de la physique sont symétrique dans le temps (entre autre, les constantes de la physique sont vraiment constante), est équivalent à dire que l’énergie se conserve.

Si l’impulsion se conserve (l’impulsion est égale à la masse fois la vitesse, ça permet de généraliser la seconde loi de Newton), alors aucune force extérieure ne s’applique, il y a symétrie dans l’espace.

Ce théorème permet de généraliser à chaque symétrie ce qu’on voit avec la seconde loi de Newton.

Qu’entends-tu par symétrie du système?

Édit : plantage en beauté, cf le message là.

Merci, j’ai compris!

Heu attention @Gabbro ton post au dessus contient pas mal de truc pas clair.

Pour ton exemple tu fait référence à la symétrie de parité (P) dont la grandeur conservé est la … parité non l’impulsion. Pour l’impulsion il faut s’intéresser aux translations (transformation de Parité $x_i \rightarrow -x_i$, transformation de de translation $x_i \rightarrow x_i+ \delta i$):

La présence d’une force constante ne brise pas l’invariance de l’espace, donc il y a bien toujours un symétrie de translation (= les équations de mouvement ne sont pas modifié par une translation dans l’espace, dit avec des mots plu terre à terre : si je fais mon experience a Paris ou a Madrid le résultat sera le même). Par contre il n’y a clairement plus conservation de la quantité de mouvement ! Les grandeurs conservés lors du mouvement sont définie par l’action de l’opération de symétrie sur le Lagrangien.

Dans le cas d’une force constante le lagrangien qui dépend du potentiel n’est pas invariant par translation quelconque (c’est le gradient du lagrangien qui est invariant par translation) il n’y a donc pas de conservation de l’impulsion. Dans ce cas précis si on prend une force homogène dirigé selon $x$ le lagrangien est bien invariant selon $y$ et $z$ donc alors $p_y$ et $p_z$ sont conservés mais par contre il n’y a pas invariance selon $x$ et donc $p_x$ n’est pas conservé. C’est la grandeur $P_x = p_x-Ft$ qui est conservé.

Également pour ce qui intéresse @pHySiX :

Même confusion entre le renversement du temps (la symétrie T) qui n’est pas la même chose que l’invariance dans le temps, ie l’invariance par translation dans le temps (transformation de reversement du temps T : $t \rightarrow -t$, transformation de translation dans le temps : $t \rightarrow t+\delta t$).

D’ailleurs la symétrie T de renversement du temps n’est pas vrai en général. Elle est fondamentalement vrai pour la mécanique classique (même si il y a une brisure apparente avec la seconde loi de la thermo) et la mécanique quantique, mais pas en mécanique quantique des champs (voir les wiki sur la symétrie C,P,T et CPT).

L’invariance par translation du temps ou de manière plus court l’invariance dans le temps signifie que l’expression des forces est invariante dans le temps. Si c’est le cas alors l’énergie est conservé, sinon elle ne l’est pas.

Concrètement ça veut dire que quand tu établis tes équations de mouvement, c’est à dire ton PFD : $m\vec{a} = \sum_i F_i$ si une des $F_i$ est dépendante du temps tu sais que l’énergie total de ton système (énergie mécanique) ne sera pas conservé.

Des exemples :

Force de gravité : $\vec{F}_g = m{g}$ indépendant du temps = énergie mécanique conservé

Force de frottement visqueux : $\vec{F}_f \propto \vec{v} = \frac{dv}{dt}$ dépendante du temps => énergie mécanique non conservé

De manière générale si $F$ dépend de $t$, $\frac{d}{dt}$, $\frac{d^2}{dt^2}$ etc. l’énergie ne sera pas conservé.

Oh bon sang, l’erreur. La conservation de l’impulsion dans un système dans lequel on applique une force extérieure, quand même… Merci d’avoir rectifier ma grosse bourde, Vael.

Oooof ça change des choses. Bon, je suis passé à autre chose entre temps. J’y reviendrai plus tard.

Oui on peut parfois écrire des bourdes sans s’en rendre compte

Et paf un petit pavé pr détailler sur ton attente initiale sans rentrer dans des calculs :

Comme le disait Gabbro dans son premier post il existe une équivalence entre : Conservation de l’énergie et l’invariance dans le temps des lois physique.

Il y a une démonstration mathématique qui utilise la physique lagrangienne, on y démontre un theoreme qui s’appelle le theoreme de Noether qui montre l’équivalence entre les symétries et des quantités conservés.

En quoi cette équivalence est importante ?

Il faut bien voir que le concept même de la physique c’est d’expliquer le monde par des lois qui sont censées être valable partout et tous le temps. Par exemple si l’interaction entre atome (pour former des molécules) dépend du lieu ou de l’époque ça serait très problématique. Ça voudrait dire que potentiellement des résultats valable à un endroit et à une époque ne le sont plus à un autre endroit et/ou une autre époque.

Autrement dit les interactions physiques tel que nous les connaissons ne pourraient être potentiellement vrai qu’à un endroit précis dans le temps et dans l’espace. Aïe, Aïe, Aïe.

Imagine par exemple la galère si la loi qui régis la gravité changeait de manière significative au cours des siècles, ça voudrait dire qu’à l’époque, Galilée et Newton ont décrit des phénomènes qui serait potentiellement très différent de ceux visible actuellement ! (d’après ce qu’on sait ce n’est pas le cas, les orbites des planète mesuré à l’époque sont cohérente avec celle que l’on connait aujourd’hui par exemple)

Sans parler de toute la cosmologie moderne, l’étude du Big bang, ou de l’évolution de la terre, des êtres vivants etc. On aurait aucune idée de comment étudier tous cela ne connaissant pas les lois physique régissant la nature de cette époque.

Bref ça poserait beaucoup de problème à la physique. Mais… mais le pire c’est que ça pourrait être vrai, il n’y a rien de fondamentale qui impose aux lois physique de ne pas changer (on sait déjà pas pourquoi on est là, ou pourquoi ce qui est, est…) la nature n’ayant que faire de nous faciliter la tache de sa description !

Il s’avere, heureusement pour nous, que les lois de la physique semble belle et bien invariante dans le temps. Et grâce au theoreme de Noether on sait que cela signifie que l’énergie est conservé (ce lien est tissé qu’au début du XXeme siècle par Emmy Noether, une mathématicienne allemande).

En pratique à chaque fois dans l’histoire de la physique que l’on a observé une problème dans la conservation d’énergie la meilleurs solution a toujours été celle garantissant finalement la conservation de l’énergie (à travers l’invention de nouveau bidule et machin, le cas célèbre est celui du neutrino, supposé pour garantir la conservation de l’énergie et de l’impulsion il est découvert 30ans plus tard).

Notons que ça ne veux pas dire que l’énergie est conservé et que les lois sont invariante dans le temps, juste que jusqu’à maintenant cette hypothèse mène à des résultats convainquant !

Et dans la vie de tous les jours ça donne quoi ?

Dans la physique de "tous les jours" est ce que c’est important, est-ce que la conservation de l’énergie est respecté : bien sur (cf tous ce que j’ai dit plus haut ) mais c’est un peu plus compliqué… !

On sait juste que l’énergie est conservé globalement, hors quand on s’intéresse à un problème on n’en regarde généralement qu’une partie et on en ignore une autre. Dans se cadre on peut avoir l’impression que l’énergie n’est pas conservé.

Et la vie de tous les jours ne contient que des moments où il semble bien que l’énergie se fasse la malle, par exemple une bille qui roule par terre finis par s’arrêter et perdre toute son énergie cinétique.

Oui mais cela c’est parce qu’on ne s’intéresse qu’a une partie du problème : la partie mécanique macroscopique. L’énergie cinétique est dans ce cas dissipé en frottement, qui élève la température du sol et de la bille (un tous petit peu) L’énergie est bien encore présente mais sous une forme différente, sous forme de chaleur.

La question à mille points : comment savoir dans un PFD si les forces qui interagissent sont conservative (ie : qu’elles conservent l’énergie) ou non ?

Formellement les forces conservatives sont celle qui dérivent d’un potentiel indépendant du temps. Toutes les autres ne sont pas conservative.

Ça veut dire entre autre comme je l’ai dit au dessus, dans mon précédent post, que les forces qui dépendent directement du temps ne vont pas conserver l’énergie. Et de manière générale les forces qui ne découlent pas d’un potentiel et qui par conséquences n’ont pas d’énergie potentielle associée sont donc non-conservative (comme les forces de friction lors d’un glissement par exemple). (bon il y a des subtilité qui s’appellent les transformations de Jauge qui permettent de trouver des "exceptions", ça a un rôle fondamentale en physique mais ici ce n’est pas important)

Il faut donc bien garder en tête que ces forces non-conservatives ne sont que des apparences. En réalité il y a bien conservation c’est juste que l’énergie est transmise hors du système étudié.

PS :

Cette équivalence "conservation <=> symétrie" c’est généralement considéré comme un des résultats les plus beau en physique car elle allie deux concepts très cher au physicien que sont la conservation et les symétries.