Démonstration mathématique somme diviseurs

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Bonjour,

J’aimerais comprendre ce rapport σ(nσ(n))m,m=σ(n)\frac{\sigma(n*\sigma(n))}{m}, m = \sigma(n)

Pourquoi parfois le résultat vaut bien σ(m)\sigma(m) et parfois non ?

Exemple avec n=50 : σ(50σ(50))93=128\frac{\sigma(50*\sigma(50))}{93} = 128 et σ(93)=128\sigma(93)=128

Exemple avec n=38 : σ(38σ(38))60=120\frac{\sigma(38*\sigma(38))}{60} = 120 mais pourtant σ(60)=168\sigma(60)=168

Apparemment c’est le cas quand le résultat-1 = un nombre premier.

Merci.

Édité par Craw

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Bonjour,

La question est de savoir quand est-ce que σ(nσ(n))=σ(n)σ(σ(n))\sigma(n \sigma(n)) = \sigma(n) \sigma(\sigma(n)). En général, σ(ab)=σ(a)σ(b)\sigma(a b) = \sigma(a) \sigma(b) si et seulement si aa et bb sont premiers entre eux (si ce n’est pas le cas, alors σ(ab)<σ(a)σ(b)\sigma(a b) < \sigma(a) \sigma(b)). On est donc ramené à déterminer quand est-ce que σ(n)\sigma(n) et nn sont premiers entre eux. On peut utiliser une formule pour σ(n)\sigma(n) en fonction de la décomposition de nn en facteurs premiers pour obtenir un critère intéressant… :)

Apparemment c’est le cas quand le résultat-1 = un nombre premier.

J’imagine que ce que tu appelles "résultat" est σ(nσ(n))/σ(n)\sigma(n \sigma(n))/\sigma(n). Déjà, ce n’est pas toujours un entier. Et c’est faux que si ça vaut p+1p+1 avec pp premier, alors σ(σ(n))=p+1\sigma(\sigma(n)) = p+1… Le premier exemple est pour n=51n=51.

Édité par blo yhg

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