Démonstration mathématique somme diviseurs

Bonjour,

J’aimerais comprendre ce rapport $\frac{\sigma(n*\sigma(n))}{m}, m = \sigma(n)$

Pourquoi parfois le résultat vaut bien $\sigma(m)$ et parfois non ?

Exemple avec n=50 : $\frac{\sigma(50*\sigma(50))}{93} = 128$ et $\sigma(93)=128$

Exemple avec n=38 : $\frac{\sigma(38*\sigma(38))}{60} = 120$ mais pourtant $\sigma(60)=168$

Apparemment c’est le cas quand le résultat-1 = un nombre premier.

Merci.

Bonjour,

Tu peux définir ce qu’est $\sigma$ ?

Bonjour,

Effectivement j’ai oublié, c’est la somme des diviseurs de l’entier n (n compris).

Bonjour,

La question est de savoir quand est-ce que $\sigma(n \sigma(n)) = \sigma(n) \sigma(\sigma(n))$. En général, $\sigma(a b) = \sigma(a) \sigma(b)$ si et seulement si $a$ et $b$ sont premiers entre eux (si ce n’est pas le cas, alors $\sigma(a b) < \sigma(a) \sigma(b)$). On est donc ramené à déterminer quand est-ce que $\sigma(n)$ et $n$ sont premiers entre eux. On peut utiliser une formule pour $\sigma(n)$ en fonction de la décomposition de $n$ en facteurs premiers pour obtenir un critère intéressant…

Apparemment c’est le cas quand le résultat-1 = un nombre premier.

J’imagine que ce que tu appelles "résultat" est $\sigma(n \sigma(n))/\sigma(n)$. Déjà, ce n’est pas toujours un entier. Et c’est faux que si ça vaut $p+1$ avec $p$ premier, alors $\sigma(\sigma(n)) = p+1$… Le premier exemple est pour $n=51$.