Calcul d'une intégrale

Existe-t-il une méthode simple pour celle-ci ?

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Bonjour,

Je cherche actuellement à démontrer la troisième loi de Kepler. Pour cela, j’ai recours au changement de variable de Binet (u=1ru=\frac{1}{r}). Cependant, je bloque sur un point. En effet, pour parvenir au résultat, je dois intégrer 02π1(1+ecos(θ))2dθ\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{(1+e \cdot cos(\theta))^2} \, \mathrm{d}\theta, avec le paramètre ee strictement compris entre 0 et 1.

La calculatrice me donne un résultat qui permet bien de conclure (2π(e21)1e2\frac{-2\pi}{(e^2-1)\sqrt{1-e^2}}), mais j’aimerais savoir s’il est possible de la calculer soi-même. Pensez-vous que les règles de Bioche permettraient de conclure ? Je ne sais pas trop quel changement de variable poser.

Je vous remercie par avance pour votre réponse,

Bien cordialement,

florian6973.

Édité par florian6973

"Easy is right. Begin right and you are easy. Continue easy and you are right. The right way to go easy Is to forget the right way And forget that the going is easy." Chuang Tzu

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Et bien, c’est très simple: les calculs commencent page 26 et se terminent page 31.

Ou alors, on se dit qu’une ellipse, ça ressemble à un cercle. Et on regarde la forme exponentielle de cos\cos et on pose x=eiθx = e^{i \theta}. C’est un poil moins calculatoire ;-)

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Auteur du sujet

Merci pour votre lien ! C’est en effet ce que je cherchais. Cependant, je n’arrive pas à retrouver le résultat de la calculatrice lorsque je remplace θ\theta par π\pi ou 2π2\pi dans la formule du document. Ai-je raté quelque chose ?

Pour votre seconde méthode, si j’intègre entre 0 et 2π2\pi, le changement de variable me fait intégrer de 1 à 1. Est-ce tout simplement qu’il vaut mieux intégrer de 0 à π\pi puis de multiplier par deux ?

Merci par avance pour votre réponse.

Édité par florian6973

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Auteur du sujet

Bonjour,

Je remonte le fil, si quelqu’un a un conseil. Ce n’est pas grave sinon. Merci.

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Et bien, cela m’embête très fort. Il est noté que l’intégrale de 0θdθ(1+ecos(θ))2\int_{0}^{\theta} \frac{d\theta}{(1 + e \cos(\theta))^2} = 1(1e2)[esin(θ)1+ecos(θ)+21e2tan1[1e1+etan(θ2)]+n2π]\frac{1}{(1 - e^2)} \Big[\frac{-e \sin(\theta)}{1 + e \cos(\theta)} + \frac{2}{\sqrt{1 - e^2}} \tan^{-1}[\sqrt{\frac{1 - e}{1 + e}} \tan{(\frac{\theta}{2})}] + n2\pi\Big]. Et pour θ=2π\theta = 2\pi, ça marche presque, au facteur 1e1+e\sqrt{\frac{1 - e}{1 + e}} dont on ne sait trop quoi faire. Peut-être qu’il existe une identité trigonométrique du type: tan1(xy)\tan^{-1} (x * y) = ? et qu’on pourrait dire que ce terme ne contribue pratiquement pas (le cas e=1e = -1 me fait peur) mais j’en ai aucune idée.

Pour la seconde méthode, un changement de variable qui faisait intégrer de 1 à 1 et l’apparition d’une partie complexe (cercle) fait très fort penser à une intégrale de contour et à la formule de Cauchy, non ?

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Auteur du sujet

Merci pour votre réponse ! J’ai essayé de calculer l’intégrale avec ce lien: https://www.integral-calculator.com/ image.png

Il redonne la réponse du document, mais en précisant qu’il a supposé que (e-1)(e+1)>0, ce qui n’est pas le cas lorsque 0<e<1. Cela laisserait penser, que dans le document, dans les calculs, l’auteur suppose cela aussi ; je n’ai de plus pas trouvé de formule concernant arctan(x * y).

J’aurais bien approfondi la seconde méthode, mais pour l’instant, je n’ai pas encore vu en cours les intégrales de contour et la formule de Cauchy.

Édité par florian6973

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