Calcul d'une intégrale

Bonjour,

Je cherche actuellement à démontrer la troisième loi de Kepler. Pour cela, j’ai recours au changement de variable de Binet ($u=\frac{1}{r}$). Cependant, je bloque sur un point. En effet, pour parvenir au résultat, je dois intégrer $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{(1+e \cdot cos(\theta))^2} \, \mathrm{d}\theta$, avec le paramètre $e$ strictement compris entre 0 et 1.

La calculatrice me donne un résultat qui permet bien de conclure ($\frac{-2\pi}{(e^2-1)\sqrt{1-e^2}}$), mais j’aimerais savoir s’il est possible de la calculer soi-même. Pensez-vous que les règles de Bioche permettraient de conclure ? Je ne sais pas trop quel changement de variable poser.

Je vous remercie par avance pour votre réponse,

Bien cordialement,

florian6973.

Merci pour votre lien ! C’est en effet ce que je cherchais. Cependant, je n’arrive pas à retrouver le résultat de la calculatrice lorsque je remplace $\theta$ par $\pi$ ou $2\pi$ dans la formule du document. Ai-je raté quelque chose ?

Pour votre seconde méthode, si j’intègre entre 0 et $2\pi$, le changement de variable me fait intégrer de 1 à 1. Est-ce tout simplement qu’il vaut mieux intégrer de 0 à $\pi$ puis de multiplier par deux ?

Merci par avance pour votre réponse.

Bonjour,

Je remonte le fil, si quelqu’un a un conseil. Ce n’est pas grave sinon. Merci.

Merci pour votre réponse ! J’ai essayé de calculer l’intégrale avec ce lien: https://www.integral-calculator.com/

Il redonne la réponse du document, mais en précisant qu’il a supposé que (e-1)(e+1)>0, ce qui n’est pas le cas lorsque 0<e<1. Cela laisserait penser, que dans le document, dans les calculs, l’auteur suppose cela aussi ; je n’ai de plus pas trouvé de formule concernant arctan(x * y).

J’aurais bien approfondi la seconde méthode, mais pour l’instant, je n’ai pas encore vu en cours les intégrales de contour et la formule de Cauchy.