Factorisation polynôme 3e degré

Bonjour,

Que proposeriez-vous pour factoriser ce polynôme : ${\lambda }^3-2{\lambda }^2-7\lambda -4$λ3−2λ2−7λ−4

Interdit de tester des valeurs par essais/erreurs bien entendu…

Salut,

Cherche des racines évidentes. Ou sinon demande à un système de calcul formel. Ou utilise des méthodes numériques.

Quel est exactement ton but ?

Je suis à l’examen et lors d’un exo, je devais factoriser ce polynôme. Je n’ai pas accès à une calculatrice, ni à des méthodes numériques. Tester chaque valeur prend du temps.

Comment faire, peut-être existe-il des astuces ?

Souvent dans les exercices faisables à la main, on glisse des racines évidentes. Par exemple, 0, 1, -1, 2, -2. Si tu as du degré 3, tu retombes sur du degré 2 et là il existe une méthode systématique facile.

Il existe aussi une méthode systématique pour le degré 3 et 4, mais c’est plus complexe.

Il y a la méthode de Cardan-Tartaglia pour calculer les racines d’un polynome de degré 3. Mais ça me parait un peu difficile à retenir pour utiliser en examen.

D’accord merci pour vos réponses.

Pas d’autres choix que de tenter une racine évidentes ici, $-1$−1, $0$0 ou $1$1 à la limite $2$2, $-2$−2 mais plus loin ce n’est plus évident. C’est ce qui est attendu à l’examen.

Pour $0$0 ça ne marche pas à cause de $-4$−4. Pour $1$1 et $-1$−1. Tu dois trouver $0$0 avec $1$1, $2$2, $7$7 et $4$4.
Il y a pas 36 choix, $-1-2-4+7=0$−1−2−4+7=0.
Comme par hasard, en remplaçant pas $-1$−1 tu trouves les bons signes.

Après, tu retombes sur un polynôme de degrés 2. Que tu sais faire.

PS: J’avais pas vu a 2em réponse de Aabu ._.

J’en profite juste pour glisser ce théorème qui permet en général pour les questions «d’école» de traiter rapidement le cas des racines évidentes et en voyant surtout s’il faut se lancer dans une longue série de tests ou non… Ici ça permet par exemple de voir qu’il n’y aura pas plus de 6 valeurs à tester dans tous les cas.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_%C3%A9vidente#Racine_rationnelle

Ah oui j’avais oublié ce théorème, il est vraiment très utile pour les exams

Salut. Commence par chercher les racines envidentes !