Erreur d'arrondi ?

Bonsoir,

On m’a soumis un problème "marrant", auquel la solution doit être relativement évidente, même si je ne la trouve pas.

Soit la fonction d’arrondi suivante:

(ce qui est une manière un peu fancy de dire "arrondi à l’entier inférieur si la partie décimale est plus petite que 0.5, au dessus sinon")

Imaginons maintenant que je tire $N$ nombres flottant entre 0 et 1, que je note $n_i$. Je calcule ce que j’appelle l’erreur d’arrondi de la manière suivante:

(Encore une fois, une façon un peu fancy de dire "l’erreur, c’est la différence entre l’arrondi effectué à priori ou à postériori", ou autrement dit "quelle erreur ont effectue en additionnant des nombres arrondi")

Et maintenant, imaginons que je fasse ça un grand nombre de fois, ce qui me permet de rentrer dans le doux domaine des statistiques. Instinctivement, je me doute bien que $\mathbb{E}[E(N)] = 0$, autrement dit que la moyenne des erreurs est de zéro. Mais disons que ce qui m’intéresse, c’est plutôt la variance, donc en résumé la probabilité de "me tromper".

Si j’ai envie de faire un peu de math, je me dit que in fine, il s’agit de la différence entre $n$ nombres pris dans une distribution uniforme $[0;1[$ et ces mêmes $n$ nombres pris dans une loi de Bernoulli. Sauf que la distribution que je souhaite étudiant est la différence entre les deux. Le théorème central limite étant de mon côté sur celle là, il m’a suffit de coder un script pour me rendre compte que en effet, $\mathbb{E}[E(N)] = 0$, et que j’avais une gaussienne dont je peux probablement calculer la moyenne et la variance par fit. Néanmoins, est ce qu’il est possible d’obtenir une expression pour ladite variance ?

D’avance merci

Bien vu, j’avais pas réfléchi que c’était simplement une loi uniforme $[-0.5;0.5[$. Du coup, Wikipédia m’apprend que la somme de deux variable uniforme est une loi triangulaire, et que je vais peu ou prou finir sur une loi normale si je continue de les additionner. En "pratique", dans mon cas, $n\approx 10$, ce qui fait que je dois me trouver quelque par dans la distribution d’Irwin-Hall (enfin, presque, puisque là c’est une somme de distribution uniforme $[0;1[$ et que moi je suis $[-0.5;0.5[$, mais je vois l’idée).

EDIT: vu que $n\approx 10$, je vais approximer ça par une normale.