Le paradoxe du ventilateur

Bonjour à tous !

Supposons un système idéalisé composé d’une enceinte fermée (et isolée du milieu extérieur) contenant un gaz parfait. On place dans l’enceinte, en plus du gaz déjà présent, un ventilateur alimenté par une pile supposée infiniment chargée.

Le ventilateur tourne. Les particules de gaz qui entrent en collision avec ce ventilateur gagnent en énergie cinétique. Le gaz voit donc son énergie interne augmenter. Si le gaz est parfait, à volume constant, cela augmentera la température du gaz : $dU = C_VdT$.

Sans s’intéresser à la cinétique de ce processus, on peut conclure qu’un ventilateur réchauffe la pièce dans laquelle il tourne (mais ce n’est pas perceptible en pratique).

Marrant, non ?

En quoi c’est surprenant ?

Je veux dire, dans un environnement complètement isolé, si tu ajoutes de l’énergie supplémentaire dans le système depuis l’extérieur (sans en extraire), cela va forcément induire quelque part une élévation de la température à l’intérieur.

Le but du ventilateur n’a jamais été de rafraîchir une pièce directement (ce n’est pas une clim’). Son but est de créer un flux d’air, ce qui permet d’éviter que la chaleur stagne en un point que ce soit au dessus de ton CPU ou de ta peau. Ce qui permet de faire le transfert thermique sur des molécules d’air plus froides que celles qui se sont échauffées par le contact prolongées.

+1 @Renault.

Je me permet d’ajouter que même si c’était une clim, comme on ne peux pas produire du froid (au mieux déplacer de l’énergie d’une source froide vers une source chaude) dans une enceinte isolé, une clim ne refroidirait pas non plus.

Oui, mais là le terme paradoxe aurait déjà un peu plus de sens pour le cas d’une clim' que pour un ventilateur étant donné son rôle initial. Ici ce n’est même pas le cas.

Je dirais même que la bonne utilisation d’un ventilateur consiste à l’utiliser de nuit et orienté vers la fenêtre pour que l’air plus froid du dehors vienne plus à l’intérieur

Sauf que c’est pas forcément une super idée de se ventiler pendant son sommeil, la chaleur extraite l’est par évaporation de la transpiration, donc quand on est jeune et bien hydraté ça passe, moins quand on est plus vieux…

C’est genre l’exemple type utilisé par les professeurs de thermodynamique pour "minder" les étudiants ^^.

Je me demande ce qu’il se passe à l’équilibre en supposant le ventilateur indestructible et tournant à vitesse constante $\omega$ ?

J’hésite entre la température qui tend vers l’infini ou bien, vu que la vitesse des particules deviendra plus grande que la vitesse des hélices du ventilateurs, on stagnera à une température d’équilibre finie.

Car en fait, il sera de plus en plus difficile au ventilateur d’apporter de l’énergie aux particules de gaz car elles seront de plus en plus rapides (supposons qu’elle n’ont que de l’énergie cinétique).

Tout ça me fait penser à cette histoire de sèche-cheveux.

Ton ventilateur transforme de l’énergie magique (source infinie sans interaction autre que le ventilateur) en énergie cinétique (mouvement de l’air). Par frottement, cette énergie va se transformer en énergie thermique. Si source infinie, température infinie.

J’hésite entre la température qui tend vers l’infini ou bien, vu que la vitesse des particules deviendra plus grande que la vitesse des hélices du ventilateurs, on stagnera à une température d’équilibre finie.

Ça, ça ne compte pas. Ton ventilateur fait bouger l’air à quelques mètres par secondes au plus. La vitesse des particules est de l’ordre de la centaine de mètres par seconde en moyenne. Pourtant, il va chauffer l’air. Il ne faut pas confondre vitesse des particules (une vitesse microscopique, qui ne provoque pas de mouvement macroscopique) et vitesse macroscopique. Un gaz très froid peut se délacer vite dans une direction, et un très chaud être fixe. De plus, il n’est pas plus difficile de déplacer une gaz chaud (grande vitesse de particules) que froid.

Une autre façon de faire serait de considérer des particules qui ont une vitesse aléatoire et de regarder ce qu’il se passe si on leur rajoute une vitesse (façon théorie cinétique des gaz). On peut faire le calcul avec les hypothèse super simplificatrice suivantes : toutes les particules vont à la vitesse $v$, selon l’une des 6 directions $+x, -x, +y, -y, +z, -z$ (équiréparties). Si tu ajoutes $v_v$ selon $+x$, tu obtiens de nouvelles vitesses, donc une nouvelle énergie cinétique. Tu compares avant l’ajout et après, et si j’ai bien calculé, tu voies que le gain d’énergie dû au ventilateur ne dépend pas de la vitesse initiale.

C’est super simplifié, mais ça se fait sur un bout de papier en 5 minutes (OK, 5 minutes pour moi) et ça donne une idée du truc.

Édit : j’ai fait vite fait le calcul sans l’hypothèse des 6 directions (mais module de vitesse identique pour chaque particule), et je retombe sur le même résultat. Le calcul se fait encore très bien. Il faut juste penser à passer par les moyennes pour finir le calcul. Bref, des calculs habituels. Le calcul avec distribution de vitesse, je le laisse aux motivés.