Interpréter lim xe^x

L’auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonzour,

Je me demande bien comment interpréter la limite limxxex=0\displaystyle \lim_{x \rightarrow - \infty} x e^x = 0.

Parce que tel que je le comprend, si je ne fais pas d’erreur, cela signifie que exe^x est négligeable devant 1x\dfrac{1}{x} au voisinage de -\infty.

En effet, ex×1(1x)=xex0e^x \times \dfrac{1}{(\dfrac{1}{x})} = x e^x \rightarrow 0 lorsque xx \rightarrow -\infty.

Mais alors, puisque l’on a aussi x×1(1ex)=xexx \times \dfrac{1}{(\dfrac{1}{e^x})} = x e^x, cela veux dire que à la fois x=o(1ex)x = o(\dfrac{1}{e^x}) et ex=o(1x)e^x = o(\dfrac{1}{x}) au voisinage de -\infty

Comment visualiser ça?

Édité par MEGAMAN

+0 -0

Salut,

Je comprends pas ton problème, si aa est petit devant bb, forcément 1/a1/a est grand devant 1/b1/b.

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

+1 -0

Le premier tend vers -\infty :

limxx\lim_{x \to -\infty} x \to -\infty

Le deuxième lui tend vers 00 et ce très rapidement (exp(100)1044\exp{(-100)} \propto 10^{-44}) :

limxexp(x)=0\lim_{x \to -\infty} \exp{{(x)}} = 0

Cela revient à comparer, à xx identique (par exemple x=100x = -100) lequel aura le plus de poids dans l’opération. La première citée ici (limxx\lim_{x \to -\infty} x), est négligeable, moins rapide, devant celle de la seconde (limxexp(x)\lim_{x \to -\infty} \exp{(x)}). L’un sera très loin d’avoir attend une valeur -\infty et l’autre sera déjà approximé à zéro au même moment.

Donc on a :

limxxexp(x)=limxexpx=0\lim_{x \to -\infty} x\exp{(x)} = \lim_{x \to -\infty} \exp{x} = 0

Édité par Blackline

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

+0 -0

Si tu es d’accord que

lim+exx=+\lim_{+\infty} \frac{e^x}{x} =+\infty

alors en passant à l’inverse :

lim+xex=0\lim_{+\infty} \frac{x}{e^x} =0

Mais maintenant

xex=(x)ex\frac{x}{e^x}= -(-x)e^{-x}

Et il te reste à faire le changement de variable X=-x

+0 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte