Base canonique, explication ?

Bonjour. Je suis un peu confus sur la notion de base canonique.

Quand je lis la page Wikipedia c’est expliqué que, sur Rⁿ par exemple, la base canonique c’est la famille de vecteurs (e_i)_{i < n} tel que e_i = (0,…,1,…,0) où la i-ème coordonnée est un 1 et les autres sont nulles.

Mais les coordonnées d’un vecteur ne sont-t-elles pas justement relatives à la base utilisée ? Existe-t-il une base canonique absolue - liée à l’espace lui-même - ou toutes les bases sont-elles canoniques quand on représente les vecteurs de la famille dans la base elle-même ? Dans ce second cas quel serait l’intérêt de cette notion ?

Je pencherai pour la seconde option. Mais si c’est le cas, ça veut dire qu’il n’y a pas de notion d’orthogonalité absolue ? Puisque le produit scalaire se définit relativement à une base, les éléments de cette base seront donc toujours orthogonaux entre eux dans ce produit scalaire ?

Et du coup que signifie une base orthogonale si toutes les bases le sont relativement à leur produit scalaire ? Il faudrait parler de base orthogonale relativement à un produit scalaire en particulier pour être rigoureux ?

J’ai l’impression en écrivant que la représentation des espaces vectoriels que j’avais était fausse. Par exemple voir R² comme un plan avec le vecteur au-dessus de 0 opposé à celui en dessous à la même distance sur la représentation. En fait intrinsèquement l’espace vectoriel est quelque chose de mou, rendu rigide par le produit scalaire qu’on lui impose ?

Mais j’ai pas l’impression que ce soit totalement mou. Quelle elle l’organisation intrinsèque de l’espace ? Par exemple il parait absurde de pouvoir représenter R avec l’élément 2 plus proche de 0 que l’élément 1 ? Et pourtant la notion de proximité est relative à la norme, elle relative au produit scalaire et donc extrinsèque à l’espace ?

Même si ce n’est pas encore clair dans mon esprit, intuitivement je dirais qu’il y a une sorte d’organisation topologique intrinsèque, les éléments semblent organisés en parties concentriques convexes ; et les produits scalaires par leurs propriétés ne peuvent pas contrevenir à cette organisation intrinsèque.

En fait dans le cas de $\mathbf R^n$ tu as des coordonnées “naturelles” (qu’on dit en fait canoniques) qui proviennent du fait que $\mathbf R^n$ est le produit cartésien $\mathbf R\times\cdots\times\mathbf R$. Maintenant, sur chacun des facteurs tu as une fonction de coordonnée naturelle donnée par l’identité (un point de $\mathbf R$ correspond naturellement à …. sa valeur dans $\mathbf R$). Donc tu as par produit des coordonnées des coordonnées naturelles.

Et du coup que signifie une base orthogonale si toutes les bases le sont relativement à leur produit scalaire ? Il faudrait parler de base orthogonale relativement à un produit scalaire en particulier pour être rigoureux ?

Oui. Quand c’est pas spécifié, c’est qu’on pense à la base canonique muni de son produit scalaire canonique.

En fait intrinsèquement l’espace vectoriel est quelque chose de mou, rendu rigide par le produit scalaire qu’on lui impose ?

Même avec un produit scalaire c’est relativement mou. Un espace vectoriel, il faut que tu vois ça comme un truc où l’on peut additionner et multiplier par un scalaire. C’est con à dire, mais c’est ce point de vue du calcul qui est le plus proche de la réalité. En général on ne connait pas de coordonnées sur un espace vectoriel qui fasse sens plus que d’autres.

Mais j’ai pas l’impression que ce soit totalement mou. Quelle elle l’organisation intrinsèque de l’espace ? Par exemple il parait absurde de pouvoir représenter R avec l’élément 2 plus proche de 0 que l’élément 1 ? Et pourtant la notion de proximité est relative à la norme, elle relative au produit scalaire et donc extrinsèque à l’espace ?

Quelque soit ta norme, comme $2=2(1)$, tu auras toujours que $2$ est plus loin de $0$ que $1$ l’est de $0$ : $\|2(1)\| = |2| \| 1\|$.