Loi de Butler-Volmer

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Bonjour à tous,

J’essaye de comprendre comment obtenir la loi de Butler-Volmer "simplement" donc si vous avez une idée pour rejoindre les deux bouts. Ou encore me préciser si il y a des erreurs de raisonnement.

Q=nFNQ = \purple{n}FN
i=dQdt=ddt(nFN)=nFdNdt\red{i} = \frac{dQ}{d\blue{t}} = \frac{d}{d\blue{t}} \left( \purple{n}FN \right) = \purple{n}F\frac{dN}{d\blue{t}}
j=iA=nF1AdNdt⎵uniteˊ  d′une  vitesse\red{j} = \dfrac{\red{i}}{\mathcal{A}} = \purple{n}F\underbrace{\dfrac{1}{\mathcal{A}}\frac{dN}{d\blue{t}}}_{unité\;d'une\;vitesse}
jnF=1AdNdt=vredox\dfrac{\red{j}}{\purple{n}F} = \dfrac{1}{\mathcal{A}}\frac{dN}{d\blue{t}} = v_{redox}
Ox+ne−kc⇌kaRedOx +\purple{n}e^- \begin{array}{c} k_c \\ \rightleftharpoons \\ k_a \end{array} Red
jnF=1AdNdt=vc−va\dfrac{\red{j}}{\purple{n}F} = \dfrac{1}{\mathcal{A}}\frac{dN}{d\blue{t}} = v_c-v_a
jnF=1AdNdt=kc[Ox]−ka[Red]\dfrac{\red{j}}{\purple{n}F} = \dfrac{1}{\mathcal{A}}\frac{dN}{d\blue{t}} = k_c[Ox]-k_a[Red]
j=nF(kc[Ox]−ka[Red])\red{j} = \purple{n}F(k_c[Ox]-k_a[Red])
{ka=kaoexp⁡(αnFηRT)kc=kcoexp⁡(−βnFηRT)\left\{\begin{aligned} k_a &= k_a^{o}\exp{\left(\dfrac{\alpha \purple{n}F\eta}{RT}\right)} \\ k_c &= k_c^{o}\exp{\left(\dfrac{-\beta \purple{n}F\eta}{RT}\right)} \\ \end{aligned}\right.

à l’équilibre :

kao=kco=kok_a^{o} = k_c^{o} = k^{o}
j=nFko(exp⁡(−βnFηRT)[Ox]−exp⁡(αnFηRT)[Red])\red{j} = \purple{n}Fk^{o}\left(\exp{\left(\dfrac{-\beta \purple{n}F\eta}{RT}\right)}[Ox]-\exp{\left(\dfrac{\alpha \purple{n}F\eta}{RT}\right)}[Red]\right)

J’arrive pas à lier cette équation à la vraie équation de Butler-Volmer :

j=nFko[Ox]α[Red]β(exp⁡(−βnFηRT)−exp⁡(αnFηRT))\red{j} = \purple{n}Fk^{o}[Ox]^\alpha[Red]^{\beta}\left(\exp{\left(\dfrac{-\beta \purple{n}F\eta}{RT}\right)}-\exp{\left(\dfrac{\alpha \purple{n}F\eta}{RT}\right)}\right)

Si vous avez la logique je suis preneur :ange: merci du temps accordé à la lecture de ce message.

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Ok alors j’imagine bien qu’à l’équilibre à l’électrode:

[Ox]eℓ=[Red]eℓ[Ox]_{e\ell} = [Red]_{e\ell}

Donc dans mes équations je dois transformer :

{[Ox]→[Ox]eℓ[Red]→[Red]eℓ\left\{\begin{aligned} [Ox]&\to[Ox]_{e\ell} \\ [Red]&\to[Red]_{e\ell} \\ \end{aligned}\right.

Du coups ça veut dire que :

[Ox]eℓ=[Red]eℓ=[Ox]bulkα[Red]bulkβ[Ox]_{e\ell} = [Red]_{e\ell} = [Ox]_{bulk}^\alpha[Red]_{bulk}^\beta

Avec α+β=1\alpha +\beta = 1, on a une homogénéité d’unité déjà… Mais à part ça j’vois pas pourquoi on a [Ox]eℓ=[Red]eℓ=[Ox]bulkα[Red]bulkβ[Ox]_{e\ell} = [Red]_{e\ell} = [Ox]_{bulk}^\alpha[Red]_{bulk}^\beta, ça doit être ça fondamentalement mon problème.

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