Transformation de Laplace

Salut,

Je me permet de réécrire les équations telles que je les lis, vu que la typographie de ton énoncé laisse à désirer.

Pour la B :

$\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d}t}(t) - 4 \cdot \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d}t}(t) + 3 \cdot s(t) = e(t) + 3 \cdot \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d}t}(t)$

Pour la C :

$\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d}t}(t) + s(t) = e(t) - \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d}t}(t)$

Pour l’équation C, puisque le second membre est un produit, je ne vois pas comment faire la transformée de ce second membre.

Avec ma réécriture, tu n’as pas de produit, et donc pas de problème. En pratique, tu n’auras jamais de véritable produit, parce que la transformée de Laplace est surtout utile pour résoudre des équations linéaires.

Ceci dit, si jamais tu devais calculer une transformée pour $e(t) \cdot \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d}t}(t)$, il faudrait probablement revenir à la définition. Je ne crois pas qu’il y ait de formules pour faciliter le calcul.

Puisque la fonction e est un échelon unitaire, sa transformée est 1/p. En revanche pour trouver la transformée de la dérivée de e(t) dans l’équation b, est-ce p*(1/p) ?

C’est le cas. C’est assez simple à calculer en utilisant les transformées usuelles et en procédant tranquillement étape par étape.

On veut calculer :

$\mathcal L \left \{ \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d}t} \right \}$

On utilise ce que l’on sait de la transformée d’une dérivée :

$\mathcal L \left \{ \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d}t} \right \} = p \cdot \mathcal L \left \{e\right \} - e(0^-)$

Comme $e$ est un échelon unitaire de transformée $1/p$ et que les conditions initiales sont nulles, on a finalement :

$\mathcal L \left \{ \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d}t} \right \} = p \cdot \frac{1}{p} = 1$