Transformation de Laplace

L’auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonjour,

je viens de commencer à voir les transformées de Laplace, mais je n’ai pas tout compris. Voici un exercice : Exercice

Puisque la fonction e est un échelon unitaire, sa transformée est 1/p. En revanche pour trouver la transformée de la dérivée de e(t) dans l’équation b, est-ce p*(1/p) ?

Pour l’équation C, puisque le second membre est un produit, je ne vois pas comment faire la transformée de ce second membre.

Merci d’avance pour votre aide ^^

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Salut,

Je me permet de réécrire les équations telles que je les lis, vu que la typographie de ton énoncé laisse à désirer.

Pour la B :

d2sdt(t)4dsdt(t)+3s(t)=e(t)+3dedt(t)\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d}t}(t) - 4 \cdot \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d}t}(t) + 3 \cdot s(t) = e(t) + 3 \cdot \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d}t}(t)

Pour la C :

dsdt(t)+s(t)=e(t)dedt(t)\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d}t}(t) + s(t) = e(t) - \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d}t}(t)

Pour l’équation C, puisque le second membre est un produit, je ne vois pas comment faire la transformée de ce second membre.

Avec ma réécriture, tu n’as pas de produit, et donc pas de problème. En pratique, tu n’auras jamais de véritable produit, parce que la transformée de Laplace est surtout utile pour résoudre des équations linéaires.

Ceci dit, si jamais tu devais calculer une transformée pour e(t)dedt(t)e(t) \cdot \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d}t}(t), il faudrait probablement revenir à la définition. Je ne crois pas qu’il y ait de formules pour faciliter le calcul.

Puisque la fonction e est un échelon unitaire, sa transformée est 1/p. En revanche pour trouver la transformée de la dérivée de e(t) dans l’équation b, est-ce p*(1/p) ?

C’est le cas. C’est assez simple à calculer en utilisant les transformées usuelles et en procédant tranquillement étape par étape.

On veut calculer :

L{dedt}\mathcal L \left \{ \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d}t} \right \}

On utilise ce que l’on sait de la transformée d’une dérivée :

L{dedt}=pL{e}e(0)\mathcal L \left \{ \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d}t} \right \} = p \cdot \mathcal L \left \{e\right \} - e(0^-)

Comme ee est un échelon unitaire de transformée 1/p1/p et que les conditions initiales sont nulles, on a finalement :

L{dedt}=p1p=1\mathcal L \left \{ \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d}t} \right \} = p \cdot \frac{1}{p} = 1

Édité par Aabu

+2 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte