Trouver une suite par dérivation (astuce)

J’ai hésité à en faire un billet, mais vu que c’est essentielement faire partager un ressenti personnel, j’ai préféré en faire un post (j’ai fait ce que j’ai pu en jolification de formules mathématiques).

J’avais un problème personnel (en mathématiques) que j’ai oublié où j’avais besoin de résoudre cette somme : $\sum_{i=0}^{N}{i.x^i}$

Et j’étais bien embêté sur le coup, ne connaissant que les suites arithmétique et géométriques. En touchant certaines propriétés sur les Séries , j’avais trouvé que : $\sum_{i=a}^{b}{f(i)} = f(a) - f(b+1) + \sum_{i=a+1}^{b+1}{f(i)} = f(a) - f(b+1) + \sum_{i=a}^{b}{f(i+1)}$

Bon c’est une déduction logique de toute série téléscopique.

Et à partir de là j’ai pu résoudre mon problème.

$\sum_{i=0}^{N}{i.x^i} = 0 - (N+1)x^{N+1} + \sum_{i=0}^{N}{(i+1).x^{i+1}}$ $\sum_{i=0}^{N}{i.x^i}= 0 - (N+1)x^{N+1} + x\sum_{i=0}^{N}{(i+1).x^{i}}$ $\sum_{i=0}^{N}{i.x^i}= 0 - (N+1)x^{N+1} + x\sum_{i=0}^{N}{x^{i}} + x\sum_{i=0}^{N}{i.x^{i}}$ $(1-x)\sum_{i=0}^{N}{i.x^i}= 0 - (N+1)x^{N+1} + x\sum_{i=0}^{N}{x^{i}}$ A partir de là, plus d’obstable, il suffira juste de simplifier…

Et puis je suis tombé par hasard sur une vidéo de blackpenredpen sur youtube et il utilisait une autre manière d’y parvenir que je trouve bien plus simple et rapide. (je n’ai pas trouvé le lien de la vidéo, je la posterai si je la retrouve)

Voici l’idée de sa solution:

$\sum_{i=0}^{N}{x^i} = \frac{x^{N+1}-1}{x-1}$ et l’étape suivante, je me suis trouvé bête. $\frac{d}{dx}\sum_{i=0}^{N}{x^i} = \sum_{i=0}^{N}{i.x^{i-1}}$ $x.\frac{d}{dx}\sum_{i=0}^{N}{x^i} = \sum_{i=0}^{N}{i.x^{i}}$ et on en déduit que : $\sum_{i=0}^{N}{i.x^i} = x . \frac{d}{dx}\frac{x^{N+1}-1}{x-1}$

Il suffira simplement de calculer la dérivé (simple) et … CQFD

exact !

On peut avoir l’application de l’étude de cette suite ?

J’ai retrouvé la vidéo (il en a fait quelques une sur cette série) : https://youtu.be/Ch9uCBm-kUE?t=284

Je ne connais pas d’application de cette suite en particulier, mais c’est un type d’objet qui apparaît souvent dans les domaines des maths où on regarde des séries génératrices.

Par exemple, en combinatoire, on étudie des classes d’objets (exemple : l’ensemble des suites constituées de a et b avec une unique lettre b) auxquelles on associe une notion de taille (exemple : la longueur de la suite), et dans ce cas on regarde la série formelle $P(z)$ dont le $n$-ème coefficient est le nombre d’objets de taille $n$ dans notre classe (pour notre exemple : $P(z)=\sum_{n=0}^\infty n z^n$). La raison pour laquelle on étudie ce $P(z)$ est qu’on a un dictionnaire entre des opérations combinatoires (exemple : prendre l’union ou le produit "cartésien" de deux classes d’objets) et des opérations sur les séries génératrices (l’union donne la somme, le produit donne le produit). Le message de @neuneutrinos donne une formule "explicite" pour $P(z)$, ce qui fait que si un jour je fais plein d’opérations combinatoires "à l’aveugle" et qu’à la fin j’obtiens cette même formule, je sais qu’il y a exactement $n$ objets de taille $n$ dans ma classe (on pourrait donner un exemple mais honnêtement ça serait très artificiel).

Autre exemple de séries génératrices, en probas cette fois (c’est franchement les mêmes objets, juste un autre point de vue). Si on a une variable aléatoire $X$ qui prend ses valeurs dans $\{0,\ldots,N\}$, on peut regarder le polynôme $G(z)=\sum_{n=0}^N p_n z^n$ où $p_n=\mathbb{P}[X=n]$ (par exemple $p_n=\binom{N}{n} p^n(1-p)^{N-n}$ pour une binomiale $(N,p)$). Comme plus haut, l’intérêt de ça c’est que certaines notions "probabilistes" ont une traduction directe en termes de séries génératrices. Avec cette formulation, l’espérance de $X$ vaut $\mathbf{E}[X]=\sum_{n=0}^N n p_n=G'(1)$. On retrouve bien l’idée que faire sortir le $n$ devant correspond à dériver par rapport à $z$ (cf. la deuxième preuve "officielle"). On peut multiplier les exemples à partir de là (et c’est toujours très moderne en combinatoire analytique d’étudier les lois limites des processus discrets en calculant comme un bourrin sur les séries génératrices puis en extrayant les infos asymptotiques avec de l’analyse complexe).

La deuxième preuve est donc plus "dans l’esprit" de ces applications. Mais la première preuve est aussi intéressante, si on regarde bien ça ressemble un peu à de l’intégration par partie où on a pris la "dérivée discrète" de $i$. Je pense que @neuneutrinos a retrouvé la preuve dans un cas favorable (mais pas foncièrement plus facile que le cas général) des "sommations d’Abel" (avec les notations de Wikipedia, prendre $f_i=i$ et $g_i=x^i$).

@"|{[Lucas-84]}|" : tu connais sûrement ça https://stackoverflow.com/a/18742428/9558749

Comment on fait des @ de pseudos composés ?

@"|{[Lucas-84]}|" : tu connais sûrement ça https://stackoverflow.com/a/18742428/9558749

Bon là en l’occurrence je sais pas trop pourquoi il utilise une formule explicite, dès la première ligne de la preuve on sait que $\sum_k k2^{-k}$ converge, donc c’est du $O(n)$ cqfd. Mais effectivement, dans l’absolu on pourrait obtenir une asymptotique plus précise des sommes partielles avec cette méthode. Je sais pas trop comment classifier cette utilisation, disons qu’on peut trouver des valeurs explicites de sommes dans les calculs — une sorte de "miracle calculatoire".

@**La Vir, gule**

Je ne connais pas les sommation d’Abel ni de leur utilité, mais je vais aller regarder ça !