Matrice de symétrie après changement de base

Bonjour à tous !

Ça fait quelques jours que je me casse la tête sur un problème d’algèbre linéaire. J’en ai besoin pour implémenter en Python (avec cirq) un algorithme quantique.

On dispose d’une matrice $\mathbf{A}$ de $\mathcal{M}_{m, n}(\mathbf{R})$. On note $\mathbf{e}_i$ pour $1\leqslant i\leqslant m$ les vecteurs de la base canonique de $\mathbf{R}^m$ et $\mathbf{A}_i$ pour $1\leqslant i\leqslant m$ les vecteurs lignes de $\mathbf{A}$. On définit $\mathbf{P}$ la matrice de $\mathcal{M}_{m\,n,m}$ telle que sa $i$-ème colonne soit $\mathrm{e}_i\otimes \frac{\mathrm{A}_i}{\left\|\mathbf{A}_i\right\|}$. On note $\mathrm{Col}(\mathrm{P})$ l’espace vectoriel engendré par les colonnes de $\mathrm{P}$. Cet espace est un sous-espace vectoriel de dimension $m$ de $\mathbf{R}^{m\,n}$. On a: $\mathbf{P}\,\mathbf{P}^\top=\begin{bmatrix}\frac{1}{\left\|\mathrm{A}_1\right|^2}\,\mathrm{A}_1^\top\otimes\mathrm{A}_1&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&\ddots&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&\mathbf{0}&\frac{1}{\left\|\mathrm{A}_m\right|^2}\,\mathrm{A}_m^\top\otimes\mathrm{A}_m\end{bmatrix}$

Cette matrice est un projecteur de $\mathbf{R}^{m\,n}$ sur $\mathbf{Col}(\mathrm{P})$. De fait, $\mathrm{U} = 2\,\mathrm{P}\,\mathrm{P}^\top-\mathbf{I}_{m\,n}$ est une symétrie par rapport à cet espace.

Je dispose d’une matrice unitaire $\overset{\sim}{\mathrm{U}}$ qui, pour tout $1\leqslant i\leqslant m$ associe le vecteur $\mathrm{e}_i\otimes\mathrm{e}_1'$ au vecteur $\mathrm{e}_i\otimes\mathrm{A}_i$, où $\mathrm{e}_1'$ est le premier vecteur de la base canonique de $\mathbf{R}^n$. Je connais également, de fait, l’inverse de cette matrice.

Dans le papier que j’étudie, ils écrivent que l’on peut écrire $\mathbf{U}=\overset{\sim}{\mathrm{U}}\,\mathbf{R}_0\,\left(\overset{\sim}{\mathrm{U}}\right)^{-1}$. Cependant, je n’arrive pas à trouver $\mathbf{R}_0$. J’ai l’impression qu’elle est composée de beaucoup de lignes en commun avec la matrice identité, mais je n’arrive pas à voir comment je pourrais trouver ses autres coefficients…

Quelqu’un saurait-il m’éclairer ? Merci d’avance !

La matrice $\tilde{U}$ est un changement de base qui ramène l’espace par rapport auquel $U$ fait une symétrie à l’espace de base orthogonale les $e_i ⊗ e'_1$. La matrice $R_0$ est donc la symétrie par rapport aux $e_i ⊗ e'_1$. Elle envoie $e_i ⊗ e'_j$ sur $e_i ⊗ e'_j$ si $j≠1$ et sur $-e_i ⊗ e'_j$ si $j=1$. Elle a donc des $+1$ sur toute la diagonale sauf à $m$ endroits où elle a $-1$.

PS : L’éditeur déconne, si j’écris $e_1$ blabla, le texte "blabla" apparaît en italique, plus d’autres choses pas cohérentes.

Je te conseille de repasser sur l’ancien éditeur si tu veux écrire des maths. Dès que t’as besoin d’un * ou un _ entre des $$, tout l’affichage devient fou.

(Sinon je ne comprends pas ton message, comment c’est possible que $A$ n’apparaisse même pas ?)

On a un sous-espace $X ⊆ E$ d’un espace euclidien, qui ici est engendré par les $e_i ⊗ A_i$. La matrice $U$ est la symétrie agissant comme $-1$ sur $X$ et comme l’identité sur son orthogonal. La matrice $\tilde{U}$ est une rotation envoyant $X$ sur un sous-espace "diagonal" $X'$, engendré par les $e_i ⊗ e_1'$. Du coup si $U' = R_0$ est la symétrie par rapport à $X'$ (agit comme $-1$ sur $X'$), on a $U'$ et $U$ qui sont conjuguées via $\tilde{U}$.

Je viens de me rendre compte que dans l’OP on suppose $\tilde{U}$ orthogonale, donc peu importe, toutes les colonnes non précisées seront envoyées sur $V^\bot$ (donc finalement c’est bien une diagonalisation, et je suis d’accord avec le message de @Vir, gule à quelques détails près).

T’inverserais pas les +1 et les -1 par hasard ? Pareil dans ton message plus haut, c’est pas plutôt +1 avec multiplicité $m$ et -1 avec multiplicité $nm-m$ ? Par ailleurs, même si t’as l’air de mettre ça sous le tapis, j’aurais plutôt dit conjuguées via $\tilde{U}^{-1}$ (cf. le problème mentionné dans mon premier message).

(À part ça, je suis d’accord avec ce que tu dis maintenant, mais je pense qu’il manque dans ton premier message le qualificatif changement de base orthogonal pour que ça ait un sens.)

Oui, j’ai inversé les $+1$ et les $-1$.

Après pour ce qui est de "conjugué via $\tilde{U}$" versus $\tilde{U}^{-1}$, je ne sais pas comment on décide du sens… ?

C’est juste que l’hypothèse de l’OP c’est $\tilde{U} (e_i\otimes A_i)=e_i\otimes e_1'$ et pas $\tilde{U} (e_i\otimes e_1')=e_i\otimes A_i$.

Mais comment est-ce qu’on décide si on dit « $A$ est le conjugué de $B$ par $U$ » ou bien « $B$ est le conjugué de $A$ par $U$ » pour dire que $A = U B U^{-1}$ ? Il y a une convention spéciale ? Je ne vois pas de raison de privilégier un sens plutôt que l’autre.

edit : Ah oui, la formule de l’OP c’est $U = \tilde{U}^{-1} R_0 \tilde{U}$ si on prend le sens de multiplication usuel des matrices ! J’ai pas fait attention à si on prend les matrices ou leurs transposées, le sens de la multiplication…

Désolé pour le temps de réponse !

Alors :

Cette phrase est très mal exprimée. À vrai dire, même moi en la relisant je la comprends dans l’autre sens. Pour l’écrire mathématiquement, on a $\overset{\sim}{\mathbf{U}}\left(\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}'_1\right)=\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{A}_i$. On se dispense des normes pour simplifier. Cela explique donc pourquoi la décomposition semblait être "à l’envers", désolé pour ça.

J’avais bien identifié le changement de base, mais je n’avais absolument pas vu ça comme une diagonalisation ! Du coup, comme $\mathbf{U}$ est une symétrie, ses valeurs propres sont $-1$ et $1$, donc $\mathbf{R}$ est diagonale avec comme valeur $1$ pour les vecteurs correspondant à $\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}'_1$, à savoir la ligne $1$, la ligne $n+1$, la ligne $2\,n+1$… jusqu’à la ligne $(m-1)\,n+1$, et pour valeur $-1$ sur les autres entrées de la matrice, c’est bien cela ?

Oui, ça me paraît correct ! L’ordre des +1 et -1 sur la diagonale de $R$ dépend de l’ordre que tu as choisi pour ta base $(e_i\otimes e'_j)_{i\in[m],j\in[n]}$ de $\mathbf{R}^m\otimes\mathbf{R}^n$, mais les multiplicités sont bonnes. (Pour être tout à fait exhaustif, il y a toujours un problème dans l’OP pour le cas $\lVert A_i\rVert$ quelconque, car $\tilde{U}$ est supposé unitaire alors que les $e_i\otimes A_i$ ne sont plus nécessairement normalisés. J’imagine que l’hypothèse est plutôt $\tilde{U}(e_i\otimes e'_1)=e_i\otimes A_i/\lVert A_i\rVert$.)

Je pense que le message à retenir, c’est qu’on peut difficilement faire plus simple qu’une matrice diagonale, et donc que les changements de base les plus favorables à chercher en priorité, ce sont ceux qui diagonalisent ton opérateur. Dans le cadre symétrique/hermitien il en existe toujours — c’est un peu un miracle algébrique !