Interprétation de la fonction d'onde en physique quantique

Pour ta première question, c’est simple, à part dans le cas où tu es sûr que ta particule n’est pas dans une portion de l’espace pour x ou y raisons, ta particule a forcément une densité de présence non nulle là où elle peut l’être.

Alors oui, en réalité elle va être dans une certaine zone de l’espace à un moment donné, mais sans la mesure tu ignores où. D’où le fait que tu calcules une densité de présence, tu cherches à définir sa localisation probable. Et si la particule peut être dans un endroit donné, sa densité de présence dans cette zone de l’espace ne peut être nulle par définition. Mais elle peut être très faible.

Pour ta deuxième question je ne me souviens plus de comment procéder. Mais de sûr oui tu devras exploiter cette propriété à un moment.

L’équation de Schroedinger 1D que tu essaies de résoudre ressemble à $-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2}\psi(x) = E\psi(x)$

Toutes les solutions de la forme: $\psi_k(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}\quad\forall k = \dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\geq 0,\quad A,B\in\mathbb{C}$ sont solutions de cette équation. Il faut aussi bien entendu, satisfaire la condition de normalisation, ce qui va donner si on essaie avec chaque fonction individuellement: $\int_\mathbb{R}(Ae^{ikx} + Be^{-ikx})(Ae^{-ikx} + Be^{ikx})dx=\int_\mathbb{R} A^2 +B^2 + 2AB\cos(kx) dx = \left[(A^2+B^2)x+2AB\dfrac{\sin(kx)}{k}\right]_{-\infty}^{+\infty}\neq 1$

La fonction n’est même pas intégrable… La seule manière, dans un système 1D infini, d’avoir une fonction d’onde qui marche, est d’utiliser tout les $\psi_k$ avec un poids différent pour chaque $\psi_k$:

$\psi(x)=\int_\mathbb{R}A_k\psi_k dk = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R}\varphi(k)e^{ikx} dk$

ou ici ou prend $k\in\mathbb{R}$ et on prend en compte les exponentielles positive et négative en même temps. La solution est appellée un "paquet d’onde", chaque onde $\psi_k$ du paquet à une amplitude associée $\varphi(k)/\sqrt{2\pi}$.

Edit: on peut alors remarquer que les fonctions dans le couple $(\psi(x),\varphi(k))$ sont les transformées de Fourier l’une de l’autre!