Paradoxe des demi-cercles

Tout le monde se secoue ! 

J’ai commencé (il y a 9 heures) la rédaction d’un article au doux nom de « Paradoxe des demi-cercles » et j’ai pour objectif de proposer en validation un texte aux petits oignons. Je fais donc appel à votre bonté sans limites pour dénicher le moindre pépin, que ce soit à propos du fond ou de la forme. Vous pourrez consulter la bêta à votre guise à l’adresse suivante :

Merci !

Bonjour,

J’ai besoin d’une première relecture concernant le fond et plus particulièrement, la véricité et l’exactitude mathématique de ce contenu. Toute les remarques concernant le style d’écriture et la forme sont également les bienvenus.

Je pense aussi que l’introduction doit être retravaillée, auriez-vous des conseils ?

Merci d’avance !

"Pour expliquer ce phénomène, il faut s’intéresser à la fonction qui associe une courbe à sa longueur. Il est possible de montrer que cette fonction n’est pas continue"
Tu aurais un lien vers cette preuve ? Je n’en ai jamais entendu parler.

C’est pas une bonne introduction aux fractales ça ?

La « longueur de la courbe limite » est bien $2$ non ?
C’est la « limite de la longueur de la courbe » qui vaut $\pi$ ?

Ce que je voudrais déterminer c’est dans quel cas, le passage à la limite est licite !

Justement ça ne l’est pas… Parce que la forme n’est jamais une droite. Cela reste une courbe avec des vagues ce qui augmente la longueur théorique du chemin qui n’est jamais "plat".

Ce qui m’intéresse, c’est dans quel cas, le passage à la limite pour la longueur est licite. À quel point on peut approximer.

À quel point ça doit ressembler à une droite si tu préfères.

Les vagues ressemblent autant à une droite que $\pi$ est égale à $2$ je dirais . Par contre le passage à la limite n’est normalement pas autorisé.

Pour ce cas, oui mais si on avait utiliser les vagues de $sin(x)$ ça aurait été la même tu penses ?

Et en fait peut importe ce que tu penses, sans vouloir te vexer, ce qui m’intéresse c’est d’avoir une preuve (que ça marche ou pas).

l’un des commentaires de la vidéo que j’ai montré au dessus; Tu as d’autres explications dans ces commentaires.

Merci pour vos différents retours !

Looping

Tu aurais un lien vers cette preuve ? Je n’en ai jamais entendu parler.

L’affirmation est présentée sous un dessin à gauche, vers la fin de cette section.
Je vais davantage sourcer mon article et lier cette affirmation à une source claire.

Blackline

C’est pas une bonne introduction aux fractales ça ?

Malheureusement non
Il n’y a aucune fractale (dans le sens "courbe infiniment irrégulière") dans les exemples de l’article. Certes, il y a des courbes très irrégulières, mais elles convergent vers quelque chose de parfaitement régulier (un demi-cercle ou un segment). Source ici. Par ailleurs, les fractales, c’est un chouette sujet !

Merci pour cette indication, je vais prendre le temps de regarder la vidéo.

ache

La « longueur de la courbe limite » est bien $2$ non ?
C’est la « limite de la longueur de la courbe » qui vaut $\pi$ ?

De ce que j’ai compris en lisant mes sources :

• La courbe limite = courbe composée des $n$ demi-cercles lorsque $n \rightarrow +\infty$
• Cette courbe limite possède une longueur égale à π car c’est aussi le cas pour tout $n \in \mathbb N_0$

Par contre, cette courbe limite va se confondre avec un segment de droite, lui, de longueur 2.
L’erreur, c’est de croire que les deux courbes sont de même longueur parce qu’elles se confondent.

J’évite l’expression « limite de la longueur de la courbe », parce que je n’arrive pas à lui donner de sens.

Bilan des premiers retours

Merci pour vos retours, je vais essayer de clarifier ces points dans mon article.
Je n’ai pas encore eu l’occasion de regarder la vidéo de Blackline, mais c’est prévu.

Tous les retours sur la forme et le style d’écriture, notamment pour l’introduction, sont les bienvenus.
En parallèle, je vais retravailler le fond de l’article pour le rendre plus complet, plus précis et plus juste.

De ce que j’ai compris en lisant mes sources :

• La courbe limite = courbe composée des $n$ demi-cercles lorsque $n \rightarrow +\infty$

Justement, la courbe limite n’est pas composée des demi-cercles : c’est le segment. En gros, tu as une suite de courbes avec des bosses de plus en plus petites, et à la fin tu obtiens… un segment. C’est un peu le même genre d’idée contre-intuitive que 1 = 0,9999….

Pour voir rigoureusement que les deux courbes se confondent, il faudrait montrer que quelque soit le point, la distance entre les deux tend bien vers zéro, ce qui se voit avec les rayons qui rapetissent.

• Cette courbe limite possède une longueur égale à π car c’est aussi le cas pour tout $n \in \mathbb N_0$

Comme la courbe limite est le segment, sa longueur vaut bien 2. Par contre, quelque que soit $n$, la courbe d’ordre n est de longueur $\pi$.

Par contre, cette courbe limite va se confondre avec un segment de droite, lui, de longueur 2. L’erreur, c’est de croire que les deux courbes sont de même longueur parce qu’elles se confondent.

L’erreur, c’est de croire que :

$\lim_{n \rightarrow + \infty} (\text{courbe d'ordre n}) = \text segment \implies \lim_{n \rightarrow + \infty} \text{Longueur(courbe d'ordre n)} = \text{Longueur(segment)}$

Les deux courbes se confondent bien, c’est jusque tu ne peux pas calculer la longueur de l’une en passant à la limite, parce que l’absence de continuité te l’interdit. Pour avoir le droit de le faire, il faudrait de la continuité uniforme, c’est-à-dire grossièrement il faudrait que les bosses s’écrasent mieux (mais ça ne ferait plus une longueur constante).

Elle a tout à fait un sens ! La limite de la longueur de la courbe est $\pi$, parce que quelque que soit $n$, la courbe est de longueur $\pi$. Mais ce n’est pas la longueur de la limite, comme le montre le "paradoxe".

Je ne pense pas que ça ait un quelconque sens de parler de continuité sans préciser de quelle norme on parle. On ne le fait pas habituellement parce qu’on travaille souvent avec des fonctions entre des espaces vectoriels de dimension finie (sur lesquels toutes les normes sont équivalentes), mais ici la "longueur de la courbe $f$" $L(f)$ est définie sur un espace de fonctions, et ça change tout…

L’exemple donné dans l’article montre que $L$ n’est pas continue pour la norme usuelle de la convergence uniforme¹ : $\lVert f\rVert_{C^0}=\max_{x\in[-1,1]} |f(x)|$

Mais pour la norme de la convergence $C^1$ :

$\lVert f\Vert_{C^1}=\max_{x\in[-1,1]} |f(x)|+\max_{x\in[-1,1]} |f'(x)|$

$L$ est bien continue (ça se voit facilement pour les courbes $C^1$ quand on considère $L(f)=\int_{-1}^{1} \sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$). Dans l’article, on considère en fait un truc qui n’est même pas une norme (la convergence simple), qui est sans doute la première qui vient à l’esprit mais en un certain sens on n’est pas trop surpris que la longueur de la courbe ne passe pas à la limite au sens de la convergence simple, vu que même la continuité n’est pas nécessairement conservée !

Par ailleurs, $L$ étant semi-continue inférieurement pour la norme de la convergence uniforme, ie. en trichant sur les existences "la longueur de la courbe limite est plus petite que la limite des longueurs" (considérer plutôt $L(f)$ comme le sup des longueurs des courbes polygonales inscrites dans $f$), la construction de l’article montre que $\pi\ge 2$. Une preuve encore pire que $\pi\ge 2$ : dériver $L$ et utiliser les gros théorèmes de CNS de calcul des variations pour montrer que la ligne droite est la courbe la plus courte qui joint deux points.

Un grand merci pour les deux derniers commentaires !

Je vais à présent réécrire mon article en tenant compte de vos remarques et proposer prochainement une nouvelle version. Je vous tiens au courant sur ce sujet-ci.

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

Merci d’avance pour vos commentaires.

Bonjour à tous !

La version bêta a été mise à jour en tenant compte de vos remarques.

En vrac :

• Davantage de sources et de notes de bas de page
• Réécriture de l’introduction et du fond de l’article
• Je l’espère, de meilleures explications sur les aspects mathématiques
• Nouveau logo
• Une section en moins

Je garde volontairement les explications simples sans entrer dans les détails des normes et espaces de fonctions, de manière à ne pas risquer de me tromper et également pour garder l’article court et accessible à tous.

Tous les retours sont les bienvenus.

En particulier, si vous avez une source qui montre qu’un passage à la limite ne peux pas « rentrer » à l’intérieur d’une fonction non-continue, je suis preneur. J’ai cherché des sources claires permettant de justifier ce point, pourtant, je n’en n’ai pas trouvé de convaincantes.

Merci d’avance !

si vous avez une source qui montre qu’un passage à la limite ne peux pas « rentrer » à l’intérieur d’une fonction non-continue, je suis preneur.

Ben il me semble que le "paradoxe" présenté dans ton article montre ça de façon plutôt convaincante justement.

En particulier, si vous avez une source qui montre qu’un passage à la limite ne peux pas « rentrer » à l’intérieur d’une fonction non-continue, je suis preneur.

Il n’y a pas vraiment de sources qui montre « qu’on ne peut pas », parce qu’il n’y a pas de raison a priori que ce soit possible. Ce qui permet de le faire est très étroitement lié à la définition de limite et de continuité.

L’exemple de ton article montre que justement la continuité de la fonction de longueur ne peut pas être omise, parce qu’on se retrouve avec une conclusion manifestement fausse.

D’accord, merci pour vos commentaires !

Dans ce cas, je n’ai rien à ajouter de particulier à l’article et celui-ci me semble prêt pour la validation.
Je laisse à partir de maintenant 24h pour les derniers commentaires, et demain si tout va bien, je l’envoie.

Je trouve que la note de bas de page que tu as rajoutée est un peu maladroite, je vais essayer d’expliquer un peu plus simplement ce que j’ai dit plus haut (et ça répondra peut-être à ta question sur la continuité et les interversions de limite ?).

Bon, déjà je prends une fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (donc gentille, réelle). Ca veut dire quoi "$f$ est continue en $a\in\mathbb{R}$" ? Je te propose deux définitions :
(1) Pour tout $\epsilon>0$, il existe un $\eta>0$ tel que pour tout $x$ tel que $|x-a|<\eta$, on ait $|f(x)-f(a)|<\epsilon$.
(2) Pour toute suite $(u_n)$ de réels telle que $u_n\to a$ (quand $n\to+\infty$), on a : $f(u_n)\to f(a)$ (quand $n\to+\infty$).¹

Dans le cas des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, (1) et (2) sont équivalentes (tu peux le vérifier, c’est essentiellement des manipulations de symboles). (1) est la définition classique de la continuité, qu’on trouve probablement dans les cours de maths de L1. On appelle souvent (2) la caractérisation séquentielle de la continuité ("séquentielle" pour "suite").

Quid donc de la continuité de notre fonction "longueur" (que je vais appeler $L$) ? J’appelle "courbe" ici les objets dont on veut mesurer la longueur, et je vais supposer que la longueur de ces objets existe et est un nombre fini (on dit parfois que ceux-ci sont rectifiables, c’est le cas par exemple de toutes les fonctions de $[-1,1]$ dans $\mathbb{R}$ qui sont dérivables de dérivée continue). $L$ est donc une fonction de l’ensemble des courbes dans $[0,+\infty)$.

Essayons maintenant de généraliser (1) et (2) à $L$. Les problèmes qui se posent sont les suivants :
(1) $x$ et $a$ sont maintenant des courbes. Quel sens peut-on donner à "$|x-a|<\eta$", autrement dit comment est-ce qu’on pourrait définir une distance entre deux courbes ? (Note que $|L(x)-L(a)|<\epsilon$ a toujours un sens, car $L(x)$ et $L(a)$ sont des réels.)
(2) $(u_n)$ est maintenant une suite de courbes et $a$ est une courbe. Que veut dire $u_n\to a$, autrement dit comment est-ce qu’on pourrait dire qu’une suite de courbes converge vers une certaine courbe ? (Encore une fois, pas de problème avec $L(u_n)\to L(a)$, car $(L(u_n))_n$ est une suite de réels et $L(a)$ est un réel.)

Ce que je voulais dire dans mon message précédent, c’était que ce soit pour (1) ou pour (2), il y a plusieurs réponses possibles. Il y a plusieurs manières de définir une distance entre deux courbes, il y a plusieurs manières de définir ce que veut dire qu’une suite de courbes converge vers une courbe. Et suivant laquelle tu choisis, la notion de continuité que tu vas obtenir sera différente.

Dans l’article, tu donnes une réponse possible à la question de (2) "comment est-ce qu’on pourrait dire qu’une suite de courbes converge vers une certaine courbe". Tu dis que les gros objets courbes $(f_n)_n$ convergent vers le gros objet courbe $f$ si pour tout $x\in[-1,1]$, le petit objet $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$ (ce qu’on appelle souvent convergence simple, ou convergence ponctuelle, ie. "point par point"). Graphiquement, ça veut dire que dès que je fixe une abscisse $x\in[-1,1]$, le point correspondant de la courbe $f_n(x)$ se rapproche arbitrairement du point de la courbe limite $f(x)$.²

Munis de notre notion de convergence, on peut simplement définir ce que veut dire "$L$ est continue en $f$ au sens de la convergence simple" en réécrivant (2) :
(2) Pour toute suite $(f_n)$ de courbes telle que $(f_n)$ converge simplement vers $f$, on a : $L(f_n)\to L(a)$. Réécrit autrement, c’est exactement l’interversion de limite dont on parle depuis le début :

$\lim_{n\to\infty} L(f_n)=L\left(\lim_{n\to\infty} f_n\right)$

Donc dire que $L$ n’est pas continue au sens de la convergence simple veut exactement dire qu’on ne peut pas intervertir les limites en général.

Mais l’idée est que si on change la notion de convergence en quelque chose de plus fort, $L$ devient continue (et la longueur de la courbe limite devient bien la limite des longueurs) ! En particulier, c’est le cas si tu demandes que la suite de courbes et la suite de leurs dérivées convergent pour tout $x$ de manière uniforme.³ C’est le fameux "$L$ est continue au sens de la convergence $C^1$".

Une fonction semi-continue inférieurement en $a$, c’est quand on remplace (1) par :

(1) Pour tout $\epsilon>0$, il existe un $\eta>0$ tel que pour tout $x$ tel que $|x-a|<\eta$, on ait $f(a)<f(x)+\epsilon$.

Et si on remplace $f(a)<f(x)+\epsilon$ par $f(a)>f(x)-\epsilon$, on obtient la définition de "semi-continue supérieurement en $a$". En particulier, une fonction qui serait semi-continue inférieurement et semi-continue supérieurement serait… continue.

D’ailleurs j’ai aussi vu quelqu’un citer la continuité uniforme plus haut. C’est encore autre chose, et sauf erreur de ma part je ne vois pas pourquoi ça interviendrait ici.

Donc dire que $L$ n’est pas continue au sens de la convergence simple veut exactement dire qu’on ne peut pas intervertir les limites en général.

Si j’ai bien compris, je peux remplacer ma note de bas de page en disant plutôt :

Plus précisément, une telle fonction ne converge pas simplement. En savoir plus.

?

Tu pourras le faire pendant la validation

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

Merci d’avance pour vos commentaires.

Bonjour,

Voici la version finale qui sera envoyée en validation aujourd’hui vers 13h s’il n’y a plus de remarque d’ici là.
La seule modification par rapport à la version précédente, c’est la reformulation de la note de bas de page.