Représentation d'un tenseur

Bonsoir

Je cherche pour le moment à représenter "visuellement" un tenseur. Il s'agit d'un tenseur de rang 3 nommé l'hyperpolarisabilité, qui découle de l'application d'un champ électrique sur une molécule, ce qui déforme le nuage électronique. Soit, je suis chimiste, et pouvoir appréhender "visuellement" ce tenseur permettrai de mieux faire passer certaines choses.

Pour ce faire, j'aimerai bien obtenir une représentation "sphérique" de celui-ci. En gros, obtenir une image de ce genre :

… Mais je trouve difficilement quelle est la relation qui permet de passer des composantes d'un tenseur à ce genre de représentation. Dans le cas d'un tenseur de rang deux, qui sont très employé en physiques pour décrire l'anisotropie de certaines choses, j'ai lu quelque part qu'il "suffisait" de rechercher les valeurs et vecteurs propres et d'utiliser ceux-ci pour représenter le tenseur, sauf que je ne suis pas plus avancé que ça … Et qu'il s'agit d'un tenseur trois, donc des vecteurs propres qui n'ont plus trois composantes.

Si vous aviez des pistes à me suggérer (ne serait-ce que une idée des bons mots clés à rechercher), ce serait bien aimable, parce que je suis un peu perdu¹.

D'avance merci

Salut,

La question à te poser, c'est surtout "dans quel repère est-ce que j'exprime mon tenseur" ? En gros, quels sont les axes sur ton image ?

Ce qui me fait tiquer, c'est ça en fait :

Mais je trouve difficilement quelle est la relation qui permet de passer des composantes d'un tenseur à ce genre de représentation.

Un tenseur n'a pas de "composantes" absolues et figées. Par contre, on peut représenter un tenseur par une matrice qui aura certaines composantes dans un certain repère. Il faut donc déjà choisir le repère en question avant de songer à pouvoir parler des composantes de la matrice qui représente le tenseur.

C'est là que peuvent te servir les eigenvalues et eigenvectors d'une matrice représentant ton tenseur dans un repère quelconque. Si tu prends un repère ayant les eigenvectors comme base, ton tenseur sera représenté par une matrice diagonale, donc simple à représenter puisqu'elle aura juste une composante par eigenvector (tu peux alors représenter ton tenseur avec un seul point ).

Ensuite, il faut savoir comment passer de ton espace des eigenvector à $\mathbb R^3$. Quand tu dis tenseur de "rang 3", c'est un tenseur de quel ordre et à combien de dimensions ? L'ordre étant le nombre d'indices et la dimension le nombre de valeurs que peuvent prendre les indices en question.

Pour un tenseur de rang 3 il n'y a pas de notion de "valeur propre" ou de "vecteur propre".

C'est notions existent pour des tenseurs mixte de rang pair tel que le nombre d'indice covariant soit le même que le nombre d'indice contravariant. (mais j'en ai jamais entendu parler pour autre chose que des applications linéaires)

Ce que tu peux faire c'est réduire ton tenseur d’hyperpolarisabilité sur x,y et z tu obtiens 3 tenseurs d'ordre 2 puis tu représentes en mode elliptique ces tenseurs ds ton espace R3. Chaque ellipse représentant la réponse de ton milieu à une des 3 composantes du champ !

@dri1 : il s'agit d'un tenseur émanant d'une molécule, donc il est exprimé dans le repère de la molécule. En gros, pour une molécule dans un champ électrique décrit par $\vec{E}$ :

$$\vec{\mu}(\vec{E}) = \vec{\mu}_0 + \alpha\,\vec{E} + \beta\,\vec{E}^2+\ldots$$

où $\vec{\mu_0}$ est le moment dipolaire intrinsèque de la molécule, $\alpha$ sa polarisabilité (tenseur de rang 2) et $\beta$ sa première hyperpolarisabilité (tenseur de rang 3) … Que je cherche ici à représenter. À priori, il s'agit donc d'un tenseur d'ordre 3.

Vahel: je peux toujours essayer ça, de fait

Pour un tenseur de rang 3 il n'y a pas de notion de "valeur propre" ou de "vecteur propre".

Hmmf, je pensais qu'il parlait de la dimension, et non de l'ordre du vecteur…

Pourquoi rajouter un "h" à mon pseudo ? Original

Juste un truc de mec reloud : je suis pas sur que noter $ \beta \vec{E}^2$ soit très sage. Si le public averti comprend, celui qui ne l'est pas risque de tiquer ! (le carré c'est souvent un produit scalaire)

Je pense qu'en décomposant en 3 tenseurs ça donne quelque chose d'assez propre avec un code couleur pour chaque axe. En plus à tous les coups 1 ou 2 de ces 3 tenseurs sera nul ? nope ?