Trouver un vecteur perpendiculaire à un autre

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Auteur du sujet

Bonjour, je bloque sur un problème de maths qui semble pourtant facile. Il faut déterminer les vecteurs $\vec{v}$ perpendiculaires à $\vec{u}=(2,5)$ tels que $||\vec{v}||=4$. Je crois qu'il faut utiliser la projection orthogonale ou la formule d'un vecteur perpendiculaire, mais je ne vois pas comment. Pouvez-vous me donner des pistes de réflexion? Merci d'avance.

Édité par Coyote

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Staff

Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul. Comme la norme du second vecteur est fixé, tu as un système de deux équations à deux inconnus. C'est un peu lourd à calculer à cause des carrés, mais ça se fait.

J'ai trouvé un truc en $\pm n/\sqrt{29}$, avec n entier, pour les composantes de $\vec{v}$.

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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Auteur du sujet

J'avais eu l'idée du produit scalaire, mais ça ne me donnait pas un système à deux équations, juste une : $2x+5y=0$. Quelle est ta deuxième équation et que faire avec la norme?

Édité par Le Gigot

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Staff

La norme de $\vec{v}$ est fixé ! Donc, on doit avoir $||\vec{v}|| = \sqrt{x^2+y^2} = 4$. Ça fait un système désagréable (car rempli de $\pm$ et de racine), mais soluble.

Édit : comme me l'a fait remarqué Le Gigot un peu plus bas, j'avais oublié de mettre une racine carrée dans l'expression de la norme. Je corrige pour éviter d'induire en erreur quelqu'un qui par hasard aurait le même genre de problème.

Édité par Gabbro

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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Auteur du sujet

Ça a du sens, la réponse donnée est (-20/sqrt(29), 8/sqrt(29)) (ou la même chose mais avec les signes inversés). Merci du coup de main, je vais essayer ça.

Édité par Le Gigot

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Staff

Un calcul vite fait m'a donné $(10/\sqrt{29}, 4/\sqrt{29})$, au signe près. Comme (10²+4²)/29 = 116/29 = 4, tandis que (20²+8²)/29 fait 16, je suis sceptique.

Quoiqu'il en soit, la méthode devrait marcher. Pour tout les problèmes de perpendicularité, le produit scalaire est souvent très efficace.

Édité par Gabbro

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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Auteur du sujet

Ça y est, j'ai réussi, et ma réponse est bien celle de mon dernier message. Ta faute vient sans doute du fait que tu ais oublié la racine carrée dans l'expression de ta norme. Mais bon, cet exercice était un peu bizarre, il faut l'admettre.

Merci de ton aide, c'est grâce à toi que j'ai trouvé l'équation qui me manquait.

Édité par Le Gigot

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Staff

Salut,

je pense qu'il y a peut être plus simple que de s'embêter avec les équations.

Un vecteur normal à $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ est trivialement $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$. Un vecteur unitaire perpendiculaire est alors $\dfrac1{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$.

Pour avoir un vecteur de norme arbitraire $n$, il suffit de multiplier ce vecteur unitaire par $n$.

De fait, les deux vecteurs normaux à $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ de norme $n$ sont $$\pm\dfrac n{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$$

Pas besoin donc de se torturer l'esprit avec des équations dégueulasses. :D

Édité par adri1

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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Auteur du sujet

La notation avec les parenthèses, c'est une autre façon d'écrire les composantes ? Tu as sans doute raison, mais le programme scolaire québécois est plutôt mal fait.

Édité par Le Gigot

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Staff

Ben euh… C'est pareil que ce que tu as écrit dans ton premier message $\vec u=(2,5)$… Ici, on a $a=2$ et $b=5$, et on retrouve directement tes solutions.

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Staff

@dir1 : Joli ! Comme quoi, il faut toujours réfléchir avant de se lancer dans des calculs bourrins.

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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