Trouver un vecteur perpendiculaire à un autre

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour, je bloque sur un problème de maths qui semble pourtant facile. Il faut déterminer les vecteurs $\vec{v}$ perpendiculaires à $\vec{u}=(2,5)$ tels que $||\vec{v}||=4$. Je crois qu'il faut utiliser la projection orthogonale ou la formule d'un vecteur perpendiculaire, mais je ne vois pas comment. Pouvez-vous me donner des pistes de réflexion? Merci d'avance.

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Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul. Comme la norme du second vecteur est fixé, tu as un système de deux équations à deux inconnus. C'est un peu lourd à calculer à cause des carrés, mais ça se fait.

J'ai trouvé un truc en $\pm n/\sqrt{29}$, avec n entier, pour les composantes de $\vec{v}$.

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La norme de $\vec{v}$ est fixé ! Donc, on doit avoir $||\vec{v}|| = \sqrt{x^2+y^2} = 4$. Ça fait un système désagréable (car rempli de $\pm$ et de racine), mais soluble.

Édit : comme me l'a fait remarqué Le Gigot un peu plus bas, j'avais oublié de mettre une racine carrée dans l'expression de la norme. Je corrige pour éviter d'induire en erreur quelqu'un qui par hasard aurait le même genre de problème.

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Un calcul vite fait m'a donné $(10/\sqrt{29}, 4/\sqrt{29})$, au signe près. Comme (10²+4²)/29 = 116/29 = 4, tandis que (20²+8²)/29 fait 16, je suis sceptique.

Quoiqu'il en soit, la méthode devrait marcher. Pour tout les problèmes de perpendicularité, le produit scalaire est souvent très efficace.

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Ça y est, j'ai réussi, et ma réponse est bien celle de mon dernier message. Ta faute vient sans doute du fait que tu ais oublié la racine carrée dans l'expression de ta norme. Mais bon, cet exercice était un peu bizarre, il faut l'admettre.

Merci de ton aide, c'est grâce à toi que j'ai trouvé l'équation qui me manquait.

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Salut,

je pense qu’il y a peut être plus simple que de s’embêter avec les équations.

Un vecteur normal à (ab)\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} est trivialement (ba)\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}. Un vecteur unitaire perpendiculaire est alors 1a2+b2(ba)\dfrac1{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}.

Pour avoir un vecteur de norme arbitraire nn, il suffit de multiplier ce vecteur unitaire par nn.

De fait, les deux vecteurs normaux à (ab)\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} de norme nn sont ±na2+b2(ba)\pm\dfrac n{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}

Pas besoin donc de se torturer l’esprit avec des équations dégueulasses. :D

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