Interprétation physique sur des équations sur les gaz

Hello,

Par le hasard des choses, je suis en train d’étudier des équations différentielles de la forme

$dp = F_1(x,y)dx + F_2(x,y)dy$

et elles regroupent par exemple les équations dans la théorie des gaz parfaits (monoatomatiques)

$d V = \frac{nR}Pd T -\frac{nRT}{P^2}d P$ $dS = \frac{C_V}Td T + \frac{nR}{P} dP$

Vous connaissez sans doute beaucoup mieux que moi la physique derrière ces équations. Dans mon étude mathématique, il s’avère que la vérification de l’équation (de type "anti"-Cauchy-Riemann)

$\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x}$

qui est bien vérifiée dans les deux équations précédentes, a des implications mathématiques assez intéressantes mais trop délicates à expliquer dans le forum. Par exemple avec la première équation sur le volume, on a bien

$\frac{\partial (nR/P)}{\partial P} = \frac{-nR}{P^2}, \frac{\partial (-nRT/P^2)}{\partial T} = \frac{-nR}{P^2}.$

Ma question serait alors la suivante pour vous : connaissez-vous une/des interprétation physique sur cette propriété d’égalité des dérivées partielles "croisées" ?

J’ai l’impression que ça découle du fait que $S$ et $V$ proviennent de potentiels thermodynamiques, mais la physique derrière m’est mystérieuse.

Salut,

Pardonne-moi si je trompe lourdement quelque part, mais si $p$ vérifie le théorème de Schwarz, alors ton équation "anti"-Cauchy-Riemann sera vérifiée (j’imagine cependant que ce n’est pas équivalent si les dérivées secondes n’existent pas/ne sont pas continues). Or en physique, on a souvent des fonctions (supposées) suffisamment lisses pour que Schwarz soit vérifié, donc je ne pense pas que l’interprétation physique générale ira bien plus loin que dire que les objets que l’on manipule sont implicitement choisis lisses parce que ça permet de faire des tas de choses et que pour autant qu’on puisse en juger cela permet de décrire de façon satisfaisante le système auquel on s’intéresse.

Par contre, dans un contexte particulier, avoir l’équation sur les dérivées partielles croisées n’est pas forcément trivial si on ne connait pas $p$ ou qu’on n’a pas de forme fermées pour $F_1$ et $F_2$. Le sens physique d’une telle égalité est fortement dépendante du sens physique de $p$ et de $F_1$ et $F_2$ cela dit. Typiquement dans ton exemple, l’égalité sur les dérivées croisées nous dit que se déplacer dans $P$ puis dans $T$ va affecter le système de la même façon que se déplacer dans $T$ puis dans $P$ au voisinage du point où l’équation est vérifiée (et donc sur des trajectoires plus grandes si on intègre sur un chemin le long duquel elle est vérifiée, i.e. partout dans l’espace $(P,T)$). Ça casse pas des briques physiquement cela dit puisque $V$ est déjà supposé $C^2$ sur $(T,P)$.

J’ai l’impression que ça découle du fait que $S$ et $V$ proviennent de potentiels thermodynamiques, mais la physique derrière m’est mystérieuse.

Le fait qu’elles dérivent de potentiels permet d’écrire des différentielles, mais j’ai l’impression que le point physique intéressant est là (dans l’existence même de potentiels) plutôt que dans le fait que les fonctions sont lisses en plus.

Effectivement je n’avais pas les yeux en face des trous pour le cas où $p$ est fermé.

Par contre, dans un contexte particulier, avoir l’équation sur les dérivées partielles croisées n’est pas forcément trivial si on ne connait pas $p$ ou qu’on n’a pas de forme fermées pour $F_1$ et $F_2$. Le sens physique d’une telle égalité est fortement dépendante du sens physique de $p$ et de $F_1$ et $F_2$ cela dit. Typiquement dans ton exemple, l’égalité sur les dérivées croisées nous dit que se déplacer dans $P$ puis dans $T$ va affecter le système de la même façon que se déplacer dans $T$ puis dans $P$ au voisinage du point où l’équation est vérifiée (et donc sur des trajectoires plus grandes si on intègre sur un chemin le long duquel elle est vérifiée, i.e. partout dans l’espace $(P,T)$). Ça casse pas des briques physiquement cela dit puisque $V$ est déjà supposé $C^2$ sur $(T,P)$.

Oui dans ces exemples c’est effectivement pas flagrant …