Un régime permanent (ou stationnaire), c’est quand le champ de température ne dépends pas du temps:
∇2T=0⇔∂x2∂²T=0
tandis qu’un régime transitoire, le champ de température dépends du temps:
∇2T=∂t∂T=0⇔∂x2∂²T=0
Jusque là, tout vas bien. Mais j’ai quand même un problème dans l’interprétation physique.
Est-ce que vous pourriez me donner un cas d’application pour la première formule et la seconde ?
Dans quels types de cas, est-on en régime transitoire ?
Place un objet chaud dans une pièce froide (comme un plat qui sort du four que tu poses sur une table), il va se refroidir par diffusion. Le refroidissement est décrit par la phase transitoire. Comme la température imposée sur tous les bords est la même, la solution à l’équation de Laplace ∇2T=0 devient simplement une température uniforme à l’état stationnaire. Comme t’as pas de source sur ce système simple, tu vas finir par atteindre cet état (ou du moins un état très proche) après quelques temps diffusifs L2/κ (avec κ la diffusivité et L la taille du plat).
Un autre exemple est si tu places un barreau de fer dans du feu. Tu imposes une température plus forte à un bout que la température initiale (et que la température à l’autre bout du barreau). La diffusion va étaler le gradient de température jusqu’à qu’il soit réparti linéairement dans le barreau (une droite étant aussi solution de l’équation de Laplace).
Pour comprendre la physique derrière, il ne faut pas oublier la forme classique des équations de conservation ∂tf+∇⋅q=0 avec q le flux de f. Dans le cas de l’énergie interne (directement relié à la température ici), ce flux est proportionnel au gradient de température (dans la très grande majorité des cas sans transport de matière, c’est une observation phénoménologique). Un état stationnaire demande donc que le gradient de température (i.e. le flux) se compense dans toutes les directions. Ça va te donner comme solutions triviales dans l’espace euclidien les fonctions linéaires (avec un gradient constant).
@adri1 , merci pour ta réponse.
Donc si j’interprète bien, le plat chaud sur la table (l’exemple que tu as donné qui me parle le plus) vas diffuser beaucoup de chaleur, puis de moins en moins (régime transitoire ?) avant d’atteindre un état d’équilibre (régime stationnaire) ? Par rapport aux termes, ça me semble correspondre mais j’aimerais avoir une confirmation au cas ou
@Holosmos effectivement, j’ai oublié de préciser le fait que j’ai mis la formule pour une seule dimension.
Donc si j’interprète bien, le plat chaud sur la table (l’exemple que tu as donné qui me parle le plus) vas diffuser beaucoup de chaleur, puis de moins en moins (régime transitoire ?) avant d’atteindre un état d’équilibre (régime stationnaire) ?
C’est bien ça. Le gradient de température est maximum au début, puis au-fur-et-à-mesure que le plat se refroidit, le gradient de température diminue et donc le flux de chaleur du plat vers la pièce diminue également. Dans cet exemple, à l’équilibre (état stationnaire), il n’y a même plus aucun flux de chaleur entre le plat et la pièce puisque tout est à la même température.
Dans cet exemple, à l’équilibre (état stationnaire), il n’y a même plus aucun flux de chaleur entre le plat et la pièce puisque tout est à la même température.
Ce que je ne comprends pas, c’est qu’il n’y ait aucun flux. Ne devrait-il pas plutôt diminuer jusqu’à devenir constant (plutôt qu’à valeur nulle)?
Dans le cas d’un mur simple, ou il fait d’un côté 0°C et de l’autre 20°C, j’ai eu l’habitude de calculer selon l’équation du régime permanent (car c’est apparemment en régime permanent), et il y a bien un flux. Je ne comprends d’ailleurs pas pourquoi c’est en régime permanent ?
Dans le cas du plat, c’est la température de la pièce qui a finie par être la même que celle du plat. Il n’y a donc plus aucun de transfert de chaleur. Ça me parait donc normal effectivement qu’on dise qu’il soit en régime stationnaire, mais ne peut-on pas faire de transfert thermique en étant en régime stationnaire ?
Lorsque les températures sont équilibrées, la résultante des flux est nul. Pourquoi voudrais-tu que l’assiette continue indéfiniment de chauffer la pièce (c’est ça, une résultante des flux non nulle) ?
Non, c’est bien le flux local qui est nul partout.
Je parle de résultante des flux et non de flux tout court comme @adri1, parce que stricto sensu, l’assiette chauffe la pièce (évacue de la chaleur), mais la pièce chauffe l’assiette d’autant.
Tu fais ici une distinction conceptuelle qui n’a pas lieu d’être (et qui est même erronée) dans le cadre des milieux continus. Tu confonds ici deux choses. L’échange d’énergie cinétique au niveau atomique (qui effectivement se produit sans cesse) et le flux de chaleur tel que décrit par le formalisme des milieux continus qui est déjà un bilan de ces échanges microscopiques et exprimé ensuite comme une fonction continue et définie presque partout sur le support du problème dans R3. Le flux de chaleur q qui apparaît dans ∂tT+∇⋅q=0 va effectivement être nul partout et la température homogène à l’état stationnaire pour le plat qui se refroidit dans une pièce. Les échanges dont tu parles ne sont pas décrits par cette équation et ne sont pas ce à quoi on s’intéresse ici. La notion de flux de chaleur telle qu’on la manipule ici n’est bien sûr qu’artificiellement définie à petite échelle, mais c’est là tout l’intérêt de la description des milieux continus. Pouvoir manipuler des équations locales sur des grandeurs qui sont en fait statistiques.
Stationnaire = rien ne dépend du temps. Si tu transfères de l’énergie d’un endroit à un autre, tu as une variation temporelle d’énergie, donc ce n’est pas stationnaire.
…pour un système fermé. Si tu prends juste le mur, une pièce chaude fixée d’un côté et une pièce froide fixée de l’autre, tu as bien un état stationnaire pour ce mur alors qu’il y a transfert thermique à travers. Le flux est constant à travers tout le mur, et nul dans toutes les pièces. q n’est pas défini physiquement à l’interface entre le mur (valeur constante) et la pièce (valeur nulle), mais c’est pas grave parce que l’interface est de mesure nulle donc ça ne casse pas la description locale qui est faite partout ailleurs et toutes les intégrales qu’on peut faire sur des volumes constants (l’équation de la chaleur n’est garantie être valable que presque partout, et non partout, puisque c’est ultimement son intégrale sur n’importe quel volume qui doit être nulle). Elle n’a juste pas de sens à l’interface.
Bref je tergiverse.
j’ai eu l’habitude de calculer selon l’équation du régime permanent (car c’est apparemment en régime permanent), et il y a bien un flux. Je ne comprends d’ailleurs pas pourquoi c’est en régime permanent ?
Tu peux volontairement choisir de ne calculer que l’état permanent. Dans un système de diffusion pure avec conditions aux bords constantes, tu n’as aucune source, donc si il est bien posé tu dois avoir une solution permanente au système qui va vérifier les conditions aux bords. Dans le cas du mur, les conditions aux bords (avec un delta de température entre l’intérieur et l’extérieur) impose un gradient de température et donc un flux. Si celui-ci est homogène spatialement, ∇⋅q=0 et la température dans le mur ne varie plus (et varie linéairement entre les deux températures imposées).
Merci beaucoup pour vos réponses, je pense avoir compris grâce à vous la raison qui fait qu’un mur simple séparant deux températures est en régime permanent tandis qu’un plat ne peut-être qu’en régime transitoire (donc sauf si on prends la valeur instantanée du flux). Le mur serait donc en régime transitoire si de chaque côté il y avait une modification de la température suite aux transferts.
En fait j’avais beaucoup de mal à me le représenter physiquement et mentalement, dû à quelques incompréhension que vous m’avez permis de surpasser.
Soit le flux de chaleur est à divergence nulle (façon locale de dire que le flux est équilibré en tout point, autant de chaleur arrive dans un volume quelconque qu’il n’en part) et la température du système n’évolue plus (régime permanent).
Soit les flux ne sont pas à l’équilibre et la température du système évolue (régime transitoire).
C’est tout, il n’y a rien de subtil derrière tout ça. C’est juste une question d’avoir un flux de chaleur local équilibré ou non.
Merci pour tes deux points, je pense que j’ai effectivement cherché compliqué pour comprendre quand on était en régime permanent et transitoire.
(Pour la valeur instantanée, c’était juste une réflexion que je me suis faite: si on a un régime transitoire et qu’on veut connaître le flux instantané dans un système, on devrait pouvoir considérer que le système est en régime permanent à cet instant et que les valeurs de températures lors du transfert sont constantes (car instantanés). J’ai peut-être cherché compliqué donc…)
Pour la valeur instantanée, c’était juste une réflexion que je me suis faite: si on a un régime transitoire et qu’on veut connaître le flux instantané dans un système, on devrait pouvoir considérer que le système est en régime permanent à cet instant et que les valeurs de températures lors du transfert sont constantes (car instantanés).
J’ai littéralement rien compris. Le flux q qui apparaît dans l’équation de conservation et qu’on calcule comme q=−k∇T est déjà local et instantané. Si tu connais le champ de température à un instant, tu peux calculer le flux partout. Il n’y a pas d’hypothèse à faire pour simplifier ou même rendre le calcul possible… Tu confonds peut être avec les analyses dites en "freezing-time" où on ignore des termes de dérive pour regarder des perturbations par rapport à un état transitoire connu lent, mais c’est d’un tout autre niveau.
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Je masque pour ne pas introduire l’OP ne erreur.