Régime permanent et transitoire (thermique)

Bonjour,

Un régime permanent (ou stationnaire), c’est quand le champ de température ne dépends pas du temps:

$\nabla^2 T = 0 \Leftrightarrow \frac{\partial² T}{\partial x^2} = 0$

tandis qu’un régime transitoire, le champ de température dépends du temps: $\nabla^2 T = \frac{\partial T}{\partial t} \ne 0 \Leftrightarrow \frac{\partial² T}{\partial x^2} \ne 0$

Jusque là, tout vas bien. Mais j’ai quand même un problème dans l’interprétation physique. Est-ce que vous pourriez me donner un cas d’application pour la première formule et la seconde ?

Dans quels types de cas, est-on en régime transitoire ?

Comme exemple important du deuxième cas est l’équation de la chaleur unidimensionnelle

$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$

Salut,

Place un objet chaud dans une pièce froide (comme un plat qui sort du four que tu poses sur une table), il va se refroidir par diffusion. Le refroidissement est décrit par la phase transitoire. Comme la température imposée sur tous les bords est la même, la solution à l’équation de Laplace $\nabla^2T=0$ devient simplement une température uniforme à l’état stationnaire. Comme t’as pas de source sur ce système simple, tu vas finir par atteindre cet état (ou du moins un état très proche) après quelques temps diffusifs $L^2/\kappa$ (avec $\kappa$ la diffusivité et $L$ la taille du plat).

Un autre exemple est si tu places un barreau de fer dans du feu. Tu imposes une température plus forte à un bout que la température initiale (et que la température à l’autre bout du barreau). La diffusion va étaler le gradient de température jusqu’à qu’il soit réparti linéairement dans le barreau (une droite étant aussi solution de l’équation de Laplace).

Pour comprendre la physique derrière, il ne faut pas oublier la forme classique des équations de conservation $\partial_t f + \nabla\cdot\vec q = 0$ avec $\vec q$ le flux de $f$. Dans le cas de l’énergie interne (directement relié à la température ici), ce flux est proportionnel au gradient de température (dans la très grande majorité des cas sans transport de matière, c’est une observation phénoménologique). Un état stationnaire demande donc que le gradient de température (i.e. le flux) se compense dans toutes les directions. Ça va te donner comme solutions triviales dans l’espace euclidien les fonctions linéaires (avec un gradient constant).

@adri1 , merci pour ta réponse. Donc si j’interprète bien, le plat chaud sur la table (l’exemple que tu as donné qui me parle le plus) vas diffuser beaucoup de chaleur, puis de moins en moins (régime transitoire ?) avant d’atteindre un état d’équilibre (régime stationnaire) ? Par rapport aux termes, ça me semble correspondre mais j’aimerais avoir une confirmation au cas ou

@Holosmos effectivement, j’ai oublié de préciser le fait que j’ai mis la formule pour une seule dimension.

Donc si j’interprète bien, le plat chaud sur la table (l’exemple que tu as donné qui me parle le plus) vas diffuser beaucoup de chaleur, puis de moins en moins (régime transitoire ?) avant d’atteindre un état d’équilibre (régime stationnaire) ?

C’est bien ça. Le gradient de température est maximum au début, puis au-fur-et-à-mesure que le plat se refroidit, le gradient de température diminue et donc le flux de chaleur du plat vers la pièce diminue également. Dans cet exemple, à l’équilibre (état stationnaire), il n’y a même plus aucun flux de chaleur entre le plat et la pièce puisque tout est à la même température.

Ce que je ne comprends pas, c’est qu’il n’y ait aucun flux. Ne devrait-il pas plutôt diminuer jusqu’à devenir constant (plutôt qu’à valeur nulle)?

Dans le cas d’un mur simple, ou il fait d’un côté $0\degree C$ et de l’autre $20\degree C$, j’ai eu l’habitude de calculer selon l’équation du régime permanent (car c’est apparemment en régime permanent), et il y a bien un flux. Je ne comprends d’ailleurs pas pourquoi c’est en régime permanent ?

Dans le cas du plat, c’est la température de la pièce qui a finie par être la même que celle du plat. Il n’y a donc plus aucun de transfert de chaleur. Ça me parait donc normal effectivement qu’on dise qu’il soit en régime stationnaire, mais ne peut-on pas faire de transfert thermique en étant en régime stationnaire ?

Désolé @adri1, faut croire que ça fait trop longtemps que je ne fais plus de physique. Je masque pour ne pas introduire l’OP ne erreur.

Merci beaucoup pour vos réponses, je pense avoir compris grâce à vous la raison qui fait qu’un mur simple séparant deux températures est en régime permanent tandis qu’un plat ne peut-être qu’en régime transitoire (donc sauf si on prends la valeur instantanée du flux). Le mur serait donc en régime transitoire si de chaque côté il y avait une modification de la température suite aux transferts.

En fait j’avais beaucoup de mal à me le représenter physiquement et mentalement, dû à quelques incompréhension que vous m’avez permis de surpasser.

Merci pour tes deux points, je pense que j’ai effectivement cherché compliqué pour comprendre quand on était en régime permanent et transitoire.

(Pour la valeur instantanée, c’était juste une réflexion que je me suis faite: si on a un régime transitoire et qu’on veut connaître le flux instantané dans un système, on devrait pouvoir considérer que le système est en régime permanent à cet instant et que les valeurs de températures lors du transfert sont constantes (car instantanés). J’ai peut-être cherché compliqué donc…)

Pour la valeur instantanée, c’était juste une réflexion que je me suis faite: si on a un régime transitoire et qu’on veut connaître le flux instantané dans un système, on devrait pouvoir considérer que le système est en régime permanent à cet instant et que les valeurs de températures lors du transfert sont constantes (car instantanés).

J’ai littéralement rien compris. Le flux $q$ qui apparaît dans l’équation de conservation et qu’on calcule comme $q=-k\nabla T$ est déjà local et instantané. Si tu connais le champ de température à un instant, tu peux calculer le flux partout. Il n’y a pas d’hypothèse à faire pour simplifier ou même rendre le calcul possible… Tu confonds peut être avec les analyses dites en "freezing-time" où on ignore des termes de dérive pour regarder des perturbations par rapport à un état transitoire connu lent, mais c’est d’un tout autre niveau.