Décomposition d'un champ vectoriel

Bonjour,

J’ai un exercice, normalement noté ¹, un peu bizarre que je n’arrive pas à comprendre.

Je fais des maths, pas de la physique. Donc c’est la première fois que je traite un champ de vecteur, mais appartement, en dimension 3, c’est juste une application de $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$

Voici l’énoncé :

Soit un champ vectoriel à coefficients réels $v$ tel que :

$v(x_1, x_2, x_3) = (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \alpha_3 x_3, \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_3, \gamma_1 x_1 + \gamma_2 x_2 + \gamma_3 x_3$

Prouver que $v$ peut s’exprimer comme une somme de champ vectoriel tel-que $v = u + w$ avec $\text{curl}(u) = 0$ et $\text{div}(w) = 0$

Je pense qu’on peut exprimer $v$ sous forme matricielle :

J’ai le sentiment que maintenant, ça a un rapport avec le fait que je puisse décomposer $u$ comme la somme d’une matrice symétrique et antisymétrique. Mais vraiment je ne vois pas comment je peux finir.

On a d’ailleurs pas de définition de $rot$ ou $div$ dans le cours.

Ah, c’est un cours d’analyse aussi, pas d’algèbre. 🤷‍♀️

Auriez vous une idée pour me débloquer cet exercice ? Ou je suis totalement à coté de la plaque ?

Merci

Je pense que tu as raison.

J’ai trouvé ce théorème lors de mes recherches mais je ne vois pas du tout le rapport avec le cours. Je vais cherché à mieux comprendre !

En sachant que le rotationnel d’un gradient et la divergence d’une rotation sont nuls, je comprend mieux.

Merci beaucoup, je reviendrais si j’arrive à le finir !

Je réagis au titre : Décomposition d’un champ vectoriel. Mon prof de math me disait :

Il n’y a que les cadavres qui se décomposent !

Salut,

sans sortir l’artillerie lourde, étant donné qu’on te donne la forme du champ de vecteur, on peut calculer explicitement $u$ et $w$ à partir de leurs propriétés ! Par exemple, que reste-t-il quand on calcule la divergence de $v$ ? On en déduit facilement une expression pour $w$, et donc pour $u$.