Décomposition d'un champ vectoriel

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Bonjour,

J’ai un exercice, normalement noté 1, un peu bizarre que je n’arrive pas à comprendre.

Je fais des maths, pas de la physique. Donc c’est la première fois que je traite un champ de vecteur, mais appartement, en dimension 3, c’est juste une application de R3R3\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3

Voici l’énoncé :

Soit un champ vectoriel à coefficients réels vv tel que :

v(x1,x2,x3)=(α1x1+α2x2+α3x3,β1x1+β2x2+β3x3,γ1x1+γ2x2+γ3x3v(x_1, x_2, x_3) = (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \alpha_3 x_3, \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_3, \gamma_1 x_1 + \gamma_2 x_2 + \gamma_3 x_3

Prouver que vv peut s’exprimer comme une somme de champ vectoriel tel-que v=u+wv = u + w avec curl(u)=0\text{curl}(u) = 0 et div(w)=0\text{div}(w) = 0

Je pense qu’on peut exprimer vv sous forme matricielle :

V=[α1α2α3β1β2β3γ1γ2γ3]V = \left[ {\begin{array}{ccccc} \alpha_1 & \alpha_2 &\alpha_3 \\ \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \gamma_1 & \gamma_2 & \gamma_3 \\ \end{array} } \right]

J’ai le sentiment que maintenant, ça a un rapport avec le fait que je puisse décomposer uu comme la somme d’une matrice symétrique et antisymétrique. Mais vraiment je ne vois pas comment je peux finir.

On a d’ailleurs pas de définition de rotrot ou divdiv dans le cours.

Ah, c’est un cours d’analyse aussi, pas d’algèbre. 🤷‍♀️

Auriez vous une idée pour me débloquer cet exercice ? Ou je suis totalement à coté de la plaque ?

Merci


  1. On coche l’exercice si on a réussi et on peut être interrogé en cours dessus si on a coché. La note de CC dépend du nombre d’exercice coché.
+0 -0

Salut,

je suis carrément à l’opposé, je fais pas de maths mais de la physique, et il est courant d’utiliser (souvent même sans le nommer) le théorème de Helmholtz-Hodge qui indique qu’il est possible de décomposer tout champ de vecteurs (il y a des trucs à vérifier, style classes de continuité & co.) en une somme (ou différence, ça revient au même) d’un rotationnel et d’un gradient.

Mon impression c’est qu’on te demande de démontrer ce théorème-là en fait, car si tu as u=gradψu = \mathrm{grad} \, \psi et w=rotφw = \mathrm{rot} \, \varphi, alors tu vérifies les conditions rotu=rot(gradψ)=0\mathrm{rot} \, u = \mathrm{rot}(\mathrm{grad} \, \psi) = 0 et divw=div(rotφ)=0\mathrm{div} \, w = \mathrm{div}(\mathrm{rot} \, \varphi) = 0. Voilà, j’espère ne pas t’amener sur une mauvaise piste, mais ma démarche ce serait ça :

  1. démontrer Helmholtz-Hodge ;
  2. démontrer les identités vectorielles ci-dessus (div(rotφ)=0\mathrm{div}(\mathrm{rot} \, \varphi) = 0 et rot(gradψ)=0\mathrm{rot}(\mathrm{grad} \, \psi) = 0 si pas déjà traité en cours.

Encore une fois, je fais très peu de mathématiques fondamentales donc ma démarche est un peu au jugé, il y a peut-être un moyen plus propre de traiter le problème.

+2 -0

Je pense que tu as raison.

J’ai trouvé ce théorème lors de mes recherches mais je ne vois pas du tout le rapport avec le cours. Je vais cherché à mieux comprendre !

En sachant que le rotationnel d’un gradient et la divergence d’une rotation sont nuls, je comprend mieux.

Merci beaucoup, je reviendrais si j’arrive à le finir ! ^^

+0 -0

En l’occurrence, ton champ de vecteur a une forme très spécifique (c’est l’image d’une transformation linéaire). Je pense que le théorème auquel @Stalone fait référence est beaucoup plus général.

J’ai le sentiment que maintenant, ça a un rapport avec le fait que je puisse décomposer uu comme la somme d’une matrice symétrique et antisymétrique.

ache

Ca me paraît être effectivement une bonne idée (pour ne pas dire : c’est exactement la bonne preuve, je pense) ! Tu peux regarder les définitions de divergence et rotationnel sur Wikipedia — et remarquer ce qu’il se passe pour ces deux quantités quand la matrice 3x3 que tu considères est symétrique/antisymétrique.

:p Je réagis au titre : Décomposition d’un champ vectoriel. Mon prof de math me disait :

Il n’y a que les cadavres qui se décomposent !

+0 -0

Salut,

sans sortir l’artillerie lourde, étant donné qu’on te donne la forme du champ de vecteur, on peut calculer explicitement uu et ww à partir de leurs propriétés ! Par exemple, que reste-t-il quand on calcule la divergence de vv ? On en déduit facilement une expression pour ww, et donc pour uu.

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