Triplets pythagoriciens et points rationnels positifs du cercle

Bonjour,

J’ai récemment lu un article du site Images des mathématiques qui traite des triplets pythagoriciens.

Les auteurs proposent de montrer en première partie (cf Première partie : triplets pythagoriciens et points rationnels positifs du cercle) qu’à tout triplet pythagoricien, on peut associer un point rationnel positif du cercle et réciproquement.

Ma question porte sur la réciproque. Les auteurs se donnent un point rationnel positif du cercle $(x,y)$ et veulent montrer qu’on peut lui associer un triplet pythagoricien $(a,b,c)$, qui vérifie donc $a^2 + b^2 = c^2$.

Les auteurs écrivent les coordonnées $(x,y)$ sous la forme de rationnels ayant même dénominateur, c’est-à-dire $x = \dfrac{m}{k}$ et $y = \dfrac{n}{k}$. Ils concluent ensuite aisément.

Si on peut effectivement proposer une écriture rationnelle pour $x$ et $y$ (c’est une hypothèse de départ), je ne comprends pas pourquoi on peut dire que le dénominateur est identique.

En posant $t = tan(\theta/2)$, on peut paramétrer le cercle de centre $O$ et de rayon 1 par :

On voit bien qu’un point du cercle peut s’écrire sous la forme d’une fraction où le dénominateur est identique pour $x$ et pour $y$ mais rien ne nous garantit que ce dénominateur est entier.

Que me manque-t-il pour comprendre pourquoi les auteurs posent $x = \dfrac{m}{k}$ et $y = \dfrac{n}{k}$ ?

C’est sûrement tout bête, l’article est classé comme une lecture facile…

Je vous remercie !

Effectivement, c’était vraiment simple ! Merci pour la réponse rapide !