Continuité fonction à deux variables

Bonjour,

Je dois étudier la continuité de la fonction $\frac{xy}{x + y}$ en 0. ($x, y \in \mathbb{R}, (x,y) \neq (0, 0)$).

Il me semblait qu’on pouvait la prolongé en $(0, 0)$ en définissant $f(0, 0) = 0$.

Mais finalement, je trouve que non. Et je ne suis pas sûr de mon raisonnement.

En effet, $f(x, x) = \frac{x^2}{2x} = \frac{x}{2}$ donc: $(1) \lim_{x\to0} f(x, x) = \lim_{x\to0} \frac{x}{2} = 0$.

Mais j’ai étudié un peu le comportement de la fonction quand $y$ se rapproche de $x$. De manière générale, ça diverge, sauf en $0$ ou je tombe sur une forme indéterminée ce qui laisse le champ ouvert à une continuité en $0$.

En étudiant plus précisément si $y \to -x + \delta$ avec $\delta \to 0$. Je me retrouve avec $y = -x + \delta$ :

$f(x, -x + \delta) = \frac{x(-x + \delta)}{x -x + \delta} = \frac{-x^2 + x\delta}{\delta} = \frac{-x^2}{\delta} + x$

Qui du coup, me semble pourrait diverger, même quand $x$ tend vers $0$. Si $y$ se rapproche plus vite de $x$ que $x^2$ ne se rapproche de $0$.

En essayant quelque chose qui semble correspondre à ce cas là j’ai :

$f(x, -x + x^2) = \frac{x(-x + x^2)}{x -x + x^2} = \frac{-x^2 + x^3}{x^2} = -1 + x$

Et donc je crois que : $(2) \lim_{x\to0} f(x, -x + x^2) = -1$

Est-ce qu’à partir de $(1)$ et $(2)$ je peux conclure qu’il n’est pas possible de prolonger $f$ par continuité en $(0, 0)$ ?

Merci

Merci ! Je crois que je comprend bien !

J’ai encore du mal à prouver que c’est continue en un point (quand ça l’est vraiment) avec de l’entraînement ça va venir.
Mais au moins, j’ai l’idée du contre exemple.