L’arithmétique ça se fait pas avec une calculatrice ![;)](/static/smileys/svg/clin.svg)
Comme l’énoncé te le suggère subtilement :
665=5×7×19
Il s’agit donc d’appliquer correctement le théorème des restes chinois
Ce théorème dit que l’on a un isomorphisme
Z/665→Z/5×Z/7×Z/19
par la seule application raisonnable : x[665] est envoyé sur (x[5],x[7],x[19]).
Maintenant, je cherche x2[665]=(12[5],32[7],122[19]). Cet isomorphisme est un isomorphisme d’anneaux, donc ça revient à chercher x[665]=(1[5],3[7],12[19]).
Comment déterminer x ? On applique le petit algorithme du théorème des restes chinois.
- On pose n5=7⋅19=133, n7=5⋅19=95 et n19=5⋅7=35.
- On résout une sorte de base pour chaque nombre premier : 2⋅n5−53⋅5=1, 2⋅n7−27⋅7=1 et enfin 6⋅n19−11⋅19=1. On pose avec ces résolutions e5=2⋅n5=266, e7=2⋅n7=190 et e19=6⋅n19=210.
La solution x est alors donnée par
x=1⋅e5+3⋅e7+12⋅e19=266+570+2520=3356
et 3356[665]=31[665]. Ce qui te donne ta solution