Calcul des racines carrées de i

Salut !

Dans le cadre d’un exercice sur les nombres complexes, je dois trouver les racines carrées de i. J’ai pu assez bien avancer avec l’aide des membres du Discord, mais faire un post sur le forum me semble plus approprié. Voici ma démonstration :

On voit qu’il y a 4 cas de figure qui se présentent :

1. a et b sont positifs.
2. a et b sont négatifs.
3. a est positif et b est négatif.
4. a est négatif et b est positif.

Je sais déjà que seul le cas 1 et 2 fonctionne. Je ne sais cependant pas comment le montrer d’une manière non redondante (tester les cas de figure 1 par 1). Comment est ce que je devrai m’y prendre ?

Merci d’avance pour votre aide.

@Amaury — Modification des tags

Dans une des étapes de ton calcul, tu as écrit 2ab=1. Donc…

Tu n’as pas fini de résoudre l’équation du tout. Qu’est-ce qui te fait dire qu’il y a 4 cas ?

J’ai résolu en partant du principe que b = a (en remplacant b par a mais sans tester avec -a). Maintenant que j’ai testé, je vois qu’il n’y a que le cas 1 et 2, sinon a ne serait pas un réel.

Ce n’est pas un système d’équations linéaires. C’est bien un système d’équations, mais elles ne sont pas linéaires du tout.

Je m’étais fait la remarque avant d’écrire, mais j’ai quand même écris ça par automatisme, my bad .

Tu atteins $a = \pm b$ mais à partir de $2ab = 1 \implies ab \gt 0$ sachant que $a, b \in \mathbb{R}$ alors tu peux allez plus loin même.

Edit: J’ai loupé la réponse de @etherpin désolé

En fait; il y a un point qui me chagrine.
Quand un fait le produit de deux complexes, les angles s’ajoutent.
Avec a = b = √2/2, je fais le produit 2ab, pas de problème, l’angle du résultat est π/4 +π/4 = π/2, ça pointe sur i.

Mais avec a = b = - √2/2, si je fais le produit 2ab,l’anngle du résultat est 3π/4 + 3π/4 = 3π/2, ça pointe sur -i !!!

Non, dans le 2ème cas, tu fais 5π/4 + 5π/4

Merci !

Plus généralement, avec a et b quelconques, quand tu passes de (a+bi) à -(a+bi), tu prends l’opposé. C’est à dire que tu multiplies par exp(i π), ou encore que tu ajoutes un demi-tour, ou encore que tu rajoutes π à l’argument.

Donc en passant au carré, on ajoute 2π, on fait un tour complet, on retombe sur le même point.

Quand je parle d’ajouter un demi-tour, ce n’est pas une image foireuse, c’est une réalité mathématique.

$i$ c’est aussi $e^{i\pi/2}$, donc $z^2 - i = 0$ s’écrit aussi $z^2 - (e^{i\pi/4})^2 = 0$, ce qui donne les deux racines sans faire de raisonnement sur les coordonnées réelles.