Quelle est la probabilité que deux événements soient indépendants ?

Tout le monde se secoue ! 

J’ai commencé (lundi 04 octobre 2021 à 17h40) la rédaction d’un article au doux nom de « Quelle est la probabilité que deux événements soient indépendants ? » et j’ai pour objectif de proposer en validation un texte aux petits oignons. Je fais donc appel à votre bonté sans limites pour dénicher le moindre pépin, que ce soit à propos du fond ou de la forme. Vous pourrez consulter la bêta à votre guise à l’adresse suivante :

Merci !

Salut,

J’ai lu ton article, et je l’ai trouvé très intéressant. Niveau cible et prérequis, je pense être dedans, voire un petit peu au delà ; j’ai des fondamentaux en statistiques, et j’ai eu des cours assez formels, avec borélien, tribu et tout le toutim.

Je trouve la structure globale de l’article très bien. La progression est claire pour moi : on pose le problème et on le formalise comme il faut, on le résout, puis on explore la solution plus concrètement. J’apprécie.

J’ai des remarques plus mineures sur les enchaînements. Ce serait bien je pense d’avoir au moins à un endroit écrit explicitement :

$P(\Lambda) = \frac{a(n)}{2^{2n}},$

parce que quand je suis arrivé au tableau à la fin, j’ai du remonter pour me remettre les idées en place.

Sinon, Sur le paragraphe « Comptons ! », j’ai compris, mais je pense que ça serait plus clair si tu expliquais la stratégie plus explicitement. On va faire des partitions en « filtrant » sur c, puis sur (a,b). J’ai compris cet aspect mieux avec la somme finale (à laquelle il manque la contrainte sur le produit de a et b) et le code (qui est le seul endroit avec le mot « partition » de tous l’article d’ailleurs ).

En bref, c’est un bon article et mon avis de membre qui ne participe plus à la validation est qu’il est en bonne voie pour être publié sur le site !

Je te remercie de ta réponse !

J’ai des remarques plus mineures sur les enchaînements. Ce serait bien je pense d’avoir au moins à un endroit écrit explicitement :

$P(\Lambda) = \frac{a(n)}{2^{2n}},$

Tu a raison, je vais le rappeler de façon plus claire.

je pense que ça serait plus clair si tu expliquais la stratégie plus explicitement. On va faire des partitions en « filtrant » sur c, puis sur (a,b).

D’accord, je vais revoir cette partie là.

J’ai compris cet aspect mieux avec la somme finale (à laquelle il manque la contrainte sur le produit de a et b)

Effectivement, c’est une coquille

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

Merci d’avance pour vos commentaires.

Je viens de lire cet article.

Je pense qu’il faut absolument mettre en introduction le niveau requis : qui est le public visé ?

Et je pense surtout que ce qui est écrit est faux. En fait, c’est le titre de l’article qui est faux.

Dans le texte, je lis : On note P(Omega) l’ensemble de ses parties, c’est-à-dire de ses événements.

Non. Une partie n’est pas un événement, une partie est un ensemble d’événements.

Et au fond, c’est la même faute que celle faite dans le titre.

L’article pourrait s’appeler : Probabilité que 2 ensembles d’événements soient indépendants. C’est mieux que le titre actuel, mais même ça, ça ne convient pas.

L’introduction devrait être plus terre à terre, et mieux décrire les calculs qu’on va faire : On a un univers fini Omega, card(omega)=n

On tire au hasard 2 parties de Omega A et B. Et on s’intéresse à ce calcul : R= Card(A \cap B ) x Card(Omega) / ( card(A) x Card(B) )

On veut savoir quelle est la probabilité que ce nombre R soit égal à 1.

…. et les calculs sont ceux donnés dans l’article … avec effectivement des résultats faibles quand n est premier, et plus généralement quand n a peu de facteurs premiers.

Les calculs, les tableaux, la suite OEIS… ok.

Mais l’appellation : proba de 2 événements indépendants. Non.

Merci de ta réponse.

On note P(Omega) l’ensemble de ses parties, c’est-à-dire de ses événements. Non. Une partie n’est pas un événement, une partie est un ensemble d’événements.

Je te cite Wikipédia :

En théorie des probabilités, un événement lié à une expérience aléatoire est un sous-ensemble des résultats possibles pour cette expérience (c’est-à-dire un certain sous-ensemble de l’univers lié à l’expérience)

En fait si, un événement de $\Omega$ C’EST une partie de $\Omega$. Un événement, c’est la réunion d’événements élémentaires $\{e_i\}$, c’est-à-dire de singletons contenant une issue possible de l’expérience aléatoire.

Après, je te l’accorde, c’est une question de vocabulaire, mais il me semble que la confusion est de ton côté.

Quand au public visé, tu as raison, je vais mieux le préciser Idem pour l’introduction, je prends en compte tes remarques

Sans nécessairement aller sur le terrain de ce que devrait être ou non un évènement, le fait est que considérer l’ensemble des parties comme tribu des évènements restreint déjà pas mal les choses.

D’ailleurs je trouve assez curieux d’accepter que le couple d’évènements $(A,B)$ ne soit pas équivalent à $(B,A)$. J’aurais plutôt imaginé un calcul de $P(A|B) P(A)^{-1} = P(B|A)P(B)^{-1}$ et ne dépend donc pas du choix de $A$ ou $B$ comme premier évènement

le fait est que considérer l’ensemble des parties comme tribu des évènements restreint déjà pas mal les choses.

C’est vrai : il est plus juste de dire qu’un événement, c’est une partie de l’univers qui appartient à la tribu. Dans mon article, j’ai effectivement sous-entendu que la tribu est l’ensemble des partie de $\Omega$, ce qu’on fait souvent dans le cas fini.

D’ailleurs je trouve assez curieux d’accepter que le couple d’évènements (A,B) ne soit pas équivalent à (B,A)

L’avantage de prendre des 2-uplets (donc avec ordre et répétition, ce qui revient à piocher un événement, le remettre dans le "sac des événements", puis piocher le deuxième) plutôt que des 2-combinaisons, avec ou sans répétition (donc ce que tu proposes), c’est que dans la pratique c’est plus facile à modéliser. En effet, il suffit de générer un n-uplet de 0 et 1 pour choisir le premier événement, puis faire la même chose avec le second. Dans ces conditions, on a bien affaire à un couple, non une combinaison. Tu peux considérer que ce sont des couples sans ordre, grâce à la relation d’équivalence $(A, B) \sim (B, A)$ ; mais dans ce cas tu n’as plus équiprobabilité. C’est la même chose avec les problèmes de dés : on considère toujours des lancers successifs et non simultanés, pour préserver l’équiprobabilité.

Je comprends l’intérêt pratique, mais je pense quand même que pour la validité du résultat il faut compenser à la fin, ou alors tenter de justifier pourquoi on garde des couples

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

Notes :

• J’ai essayé de mieux introduire le sujet, en prenant l’exemple du lancer de dé
• J’ai explicité le niveau attendu
• J’ai implicitement pris comme tribu pour $\Omega$ l’ensemble de ses parties, ce qui n’est pas aberrant dans le cas fini
• J’ai décidé garder la notion de couple d’événements. Après tout, même dans des situations symétriques, il est courant de travailler avec des couples ordonnées. Par exemple, on peut se demander quelle est la probabilité que la somme de deux dés fasse six. On voit bien que l’ordre dans lequel ont été tiré les dés n’importe pas, mais ce problème se traite classiquement en considérant les couples de nombre entre 1 et 6. La conséquence en est une symétrie dans l’expression de la probabilité prouvée (j’ai mis une note à ce sujet dans l’article)