DM Maths

Bonjour,

Avant toute chose, qu’as-tu fais / essayé ? Bloques-tu sur la compréhension de l’énoncé, de comment démarrer ? Et pour qu’on puisse t’aider correctement, dans quel classe es-tu ?

Dans ce genre de situation, le bon réflexe, c’est de faire un schéma. Toujours faire un schéma.

Pose sous forme d’équation le problème. Par exemple si le segment AM vaut x, combien vaut MB en fonction de x ?

Ensuite avec ces deux diamètres dépendants de x, tu peux exprimer l’aire des demi sphères en fonction de x. Et fait la fonction qui est la somme des deux.

Ensuite tu fais de l’analyse fonctionnelle en dérivant cette fonction. Et tu devrais pouvoir conclure

Grillé par Renault.

J’ajouterai qu’il est bon d’avoir une idée intuitive du résultat avant de commencer les calculs. Notamment sur les questions de symétrie : Si j’inverse A et B, je n’ai pas réellement modifié l’énoncé. Il y a une symétrie, cela apporte une contrainte sur le résultat.

Mais si tu ne comprends rien à ce que je raconte, concentre toi sur ce qu’a dit Renault.

Édit : exprime l’aire du demi cercle de diamètre AM en fonction de $x$. Pareil avec celui de diamètre BM. Tu dois minimiser la fonction « somme de ces deux aires. ». Tu devrais trouver dans ton cours des trucs sur la minimisation de fonction.

Ah.

Si je nomme $f(x)$ la fonction « somme des deux demis-aires », je peux calculer $f\prime(x)$ sa dérivée. Quand $f\prime > 0$, alors $f$ est croissante, et quand $f\prime < 0$, $f$ est décroissante. Donc, quand $f\prime = 0$, ça peut être :

• un minimum local,
• un maximum local,
• un plateau local (ex, $f(x) = x^3$ en 0).

Pour l’aire, tu vas trouver un $x$ particulier, que je note $x_0$ tel que $f\prime(x_0) = 0$. Ton but, trouver $x_0$. Ensuite, tu peux montrer que $f\prime$ est négative entre 0 et $x_0$, puis positive après. Relis ce que j’ai écris sur la correspondance entre $f\prime$ et $f$ : $f$ décroit jusqu’à $x_0$, puis croit ensuite. Donc $x_0$ est bien le minimum.

Résumé :

• Soit $f$ la fonction somme des aires des demi-cercles ;
• Calculer $f(x)$ ;
• Calculer $f\prime(x)$ ;
• Trouver $x_0$ tel que $f\prime(x_0) = 0$ ;
• Dérouler le raisonnement entre $f$ et $f\prime$ ;
• Conclure que $x_0$ est bien minimum.

Puis refaire la même chose avec le périmètre. Il y a un petit piège lorsque tu chercheras $x_0$.

(Ou travailler avec des symétries, mais c’est un point de vue de physicien, pas de matheux)

C’est peut-être au programme de seconde (voire de troisième) les inéquations (mais bon, vous n’avez pas franchement été aidés par la conjoncture ces deux années là ).

Bon, donc en gros, les questions intermédiaires, c’était de trouver la fonction décrivant l’aire des deux demi-cercles et son ensemble de définition.

Ensuite, il fallait conjecturer graphiquement (avec la calculatrice) de l’antécédent du minimum de la fonction (notons le m pour l’exemple).

Et enfin, déduire du calcul de $f(x)-f(m)$ que m est bien l’antécédent qui donne la plus petite image de la fonction (genre en cherchant une identité remarquable bien pratique, et en se rappelant d’une propriété forte intéressante des nombres carrés).

(Que les matheux corrige mon vocabulaire si ça n’est pas le bon, mes cours de maths datent largement d’avant l’élève de première, même qui aurait redoublé une paire de fois )