[math fi] Calcul taux actuariel pour retraitement de consolidation

Bonjour,

Pour un exercice, je cherche à retraiter un crédit bail pour consolider.

La première étape est de retrouver le taux d’intérêt.

Dans le cours, il m’es donné la formule du taux actuariel que j’ai posé :

100 000 = (26000 * [1+(1+t)^-5]/t)

Je n’arrive pas à résoudre cette équation à cause du T que je n’arrive pas à isoler.

Pourriez vous SVP m’expliquer la résolution de cette équation.

Salut,

Si tant est que ta formule soit juste (je suis un peu surpris par la division par t, d’où vient-elle ?), il y a différentes manière de la résoudre suffisante en pratique.

Par exemple, on peut demander à un logiciel de calcul de le faire pour nous, ce qui donne 5 solutions (normal pour le degré de cette équation), mais dont une seul est un réel positif. Par exemple, on peut le faire avec Wolfram Alpha. On a aussi une courbe et on pourrait trouver le résultat graphiquement.

On peut faire le même genre de choses avec un tableur, en traçant la courbe correspondant à $100 000 -(26000 * [1+(1+t)^{-5}]/t)$ et en cherchant le zéro, quitte à affiner dans un second temps si on veut plus de précision sur l’intersection. Ça donne le genre de courbe ci-dessous.

Merci pour ta réponse.

Je me prépare pour un examen et je n’aurais qu’une calculatrice collège

Je ne connaissais pas wolfram. J’ai tenté de copier l’équation mais cela ne m’a pas donné le résultat …

J’ai trouvé par hasard l’exercice qui m’est demandé : énoncé.

Mon équation semble fausse. La bonne semblerais être la suivante :

100 000 = 26 000 (1-(1+i)^-5) / i (1+i)

Il indique i= 0,1515

J’ai arrêté les math en bac pro et j’ai pas mal de lacune en résolution d’équation. Je ne vois pas comment résoudre l’équation.

Cette équation, personne ne sait la résoudre 'mathématiquement’. Et je crois que des grands mathématiciens ont démontré que jamais personne ne saurait résoudre mathématiquement les équations de ce type.

Donc on essaie des valeurs. On a quand même une bonne nouvelle, c’est que quand on prend différentes valeurs de t (ou de i), avec des valeurs plausibles, plus t augmente, plus la courbe bleue monte.

Du coup, par tâtonnement, on arrive à trouver la bonne valeur. En gros en appliquant la technique du jeu 'le juste prix’.

Cette équation, personne ne sait la résoudre 'mathématiquement’. Et je crois que des grands mathématiciens ont démontré que jamais personne ne saurait résoudre mathématiquement les équations de ce type.

Euh… Perdu, ces équations peuvent se réécrire sous forme polynomiale et pour le coup, avec l’équation du dernier message de l’OP, on tombe sur un polynôme de degré 4 dont on connait les racines exactes. Avec moins d’années, on saura résoudre aussi, et probablement dans certains cas pour plus d’années. Cela dit, elles sont ingérables à la main et tout sauf triviales, donc ça ne résout pas le problème.

Mais par ailleurs, même en passant outre les solutions avec une forme fermée, on a bien sûr des solutions mathématiques pour les équations de "ce type" qui sont bien mieux que du "à tâtons". En l’occurrence, "ce type" d’équations lisses et convexes se résout très bien par des méthodes itératives. Une bissection serait idéale et converge rapidement, mais c’est pas nécessairement ce qu’il y a de plus pratique sur une calculatrice de collège.

En remettant un peu en forme l’équation, on a: $100000 = 26000 \dfrac{1-(1+x)^{-5}}{x}(1+x)\\\iff \dfrac{13}{50}(1-(1+x)^{-5})(1+x)=x$

Soit une équation de la forme $f(x)=x$, donc $x$ est un point fixe de la suite $u_{n+1}=f(u_n)$. Comme l’équation est gentille, ce point fixe est un attracteur pour une valeur raisonnable de $u_0$. Par exemple, on peut prendre $u_0=0.5$, ou n’importe quelle valeur dans l’intervalle de valeur attendu pour un taux $(0, 1]$ ($0$ exclus puisqu’il est lui même point fixe et de toute façon exclu de l’ensemble de définition de départ).

Avec quelque dizaines d’itérations (extrêmement simple sur une calculatrice de collège en utilisant l’accumulateur Ans, il suffit d’écrire l’expression f(Ans) une fois et de spammer le bouton Enter) on trouve une solution raisonnable.

Je comprends mieux. Cela résoud mon problème

Je vous remercie pour les réponses.