Convergence d'un produit

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonsoir,

Dans le cadre d’un petit projet impliquant la propagration de l’erreur numérique dans la différentiation numérique (parce que :pirate: ), je me retrouve avec la fonction suivante:

σ(q,m,a)=∏n=1ma4n+a−2q(a2n−1)2.\sigma(q,m,a)=\prod_{n=1}^{m} \frac{a^{4n}+a^{-2q}}{(a^{2n}-1)^2}.

Pour info, q∈[1;5]q\in[1;5] et a∈R+∖{1}a\in\mathbb{R}^+\setminus\{1\}. Clairement, je m’attend à ce que σ(q,m,a)\sigma(q,m,a) converge pour m→∞∧a>1m\rightarrow\infty \land a > 1, vu que1

∀a>1:lim⁡n→∞a4n+a−2q(a2n−1)2=lim⁡n→∞a4n+a−2qa4n+1−2a2n=1.\forall a>1: \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a^{4n}+a^{-2q}}{(a^{2n}-1)^2} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a^{4n}+a^{-2q}}{a^{4n}+1-2a^{2n}} = 1.

Pour m’en convaincre, j’ai écrit un petit programme python:

import math

a=2 
q=1
r=1

for n in range(1, 200):
  f = (a ** (4 * n) + a ** (-2 * q)) / (a ** (2 * n) - 1.) ** 2
  r *= f
  print(n, f, r)

ce qui, ici, donne

1 1.8055555555555556 1.8055555555555556
2 1.1388888888888888 2.056327160493827
3 1.032060972537163 2.122255009113842
4 1.0078623606305268 2.138940943345437
5 1.0019562286377157 2.1431252008731922
6 1.0004884750305996 2.1441720640212676
7 1.0001220824207167 2.1444338297372765
8 1.0000305183348406 2.144499274286936
9 1.0000076294418252 2.1445156356193933
10 1.0000019073515887 2.144519725964698
11 1.000000476837343 2.144520748551786
12 1.000000119209301 2.1445210041986056
13 1.000000029802323 2.1445210681103135
14 1.0000000074505806 2.1445210840882405
15 1.0000000018626451 2.144521088082722
16 1.0000000004656613 2.1445210890813424
17 1.0000000001164153 2.1445210893309974
18 1.0000000000291038 2.144521089393411
19 1.000000000007276 2.1445210894090145
20 1.000000000001819 2.1445210894129154
(...)

Bref, lim⁡m→∞σ(1,m,2)≈2.1452\lim_{m\rightarrow\infty}\sigma(1,m,2)\approx 2.1452. Ça à aussi l’air de converger pour d’autres valeurs de qq et de aa, bien que plus lentement si aa est proche de 1, pour des raisons évidentes.

La question assez évidente, c’est … Est ce qu’il y a moyen d’obtenir une expression permettant d’obtenir directement la valeur de cette limite? J’avoue que je n’ai jamais eu de cours sur la convergence des sommes et des produits, mais si vous avez de bon pointeurs, je prend !

Merci d’avance :)

  1. Bon, en vrai, Wikipédia dit qu’un produit converge si la somme du logarithme des éléments du produit convergent, et du coup c’est le cas ici puisque les éléments tendent vers 1.↩
+0 -0

Bon, en vrai, Wikipédia dit qu’un produit converge si la somme du logarithme des éléments du produit convergent, et du coup c’est le cas ici puisque les éléments tendent vers 1.

(Attention, c’est plus délicat que ça, puisque le terme peut tendre vers 0 en log mais la somme peut ne pas converger.)

Je connais pas de technique pour trouver la constante limite pour ce cas-ci. Est-ce que tu as un contexte pour ce produit ?

+0 -0

Salut,

Je pense avoir une ébauche de preuve sur la convergence du produit, mais pas sa valeur.

On peut prouver que le terme général du produit tend vers 1 par valeurs supérieures à 1 pour a > 1 et q comme indiqué. Du coup, ça m’a donné l’idée d’écrire ce terme sous la forme 1+ε(n)1 + \varepsilon(n), avec ε(n)→0\varepsilon(n) \rightarrow 0 par valeurs supérieures. En fait, ε(n)\varepsilon(n) sera la partie fractionnaire de la fraction rationnelle, qui a une partie entière de 1.

On1 peut calculer ε(n)\varepsilon(n) :

ε(n)=1−a2q+2a2n+2q(an−1)2(an+1)(an+2q+a2q)≥0\varepsilon(n) = \frac{1 - a^{2 q} + 2 a^{2 n + 2 q}}{(a^n - 1)^2 (a^n + 1) (a^{n+2 q} + a^{2 q})} \geq 0

Maintenant, on peut s’intéresser au logarithme du produit. On aura quelque chose du genre :

ln⁡∏(1+ε(n))=∑ln⁡(1+ε(n))\ln\prod (1+\varepsilon(n)) = \sum\ln(1+\varepsilon(n))

On a aussi, car ln⁡(1+ε(n))≤ε(n)\ln(1+\varepsilon(n)) \leq \varepsilon(n) (en fait, c’est même une équivalence):

0≤∑ln⁡(1+ε(n))≤∑ε(n)0 \leq \sum\ln(1+\varepsilon(n)) \leq \sum \varepsilon(n)

Autrement dit, si la série des ε(n)\varepsilon(n) converge, alors la série des logarithmes aussi et le produit initial aussi.

Maintenant, est-ce que ça converge ? On a un équivalent :

ε(n)∼2(a2)n\varepsilon(n) \sim \frac{2}{(a^2)^n}

Et la série de l’équivalent converge parce qu’on y voit une série géométrique de raison a−2<1a^{-2} < 1.

L’équivalent converge, donc la série des ε(n)\varepsilon(n) converge, donc la série des logs aussi et donc le produit aussi.

Je suis en train de regarder si Mathematica me calcule la série des ε(n)\varepsilon(n), mais il vient de crasher…

  1. a.k.a Mathematica.↩
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Rebonjour,

J’ai pu jouer avec Mathematica. Sans surprise, il ne sait pas trouver de jolie formule pour la série.

Je pense que tu as moyen d’explorer l’expression numériquement, en jouant avec a et q, et en sommant quelques dizaines ou centaines de termes.

Pour ce faire, je te conseille d’utiliser un logiciel qui sait faire du calcul formel et de la précision arbitraire pour l’évaluation, pour éviter de se retrouver à explorer la formule de manière erronée. On a vite fait de sortir des tailles de flottants habituels.

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