Petite question d'indénombrable

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Staff
Auteur du sujet

Coucou,

Je suis en train de rédiger un rapport, et j'ai un doute sur un petit morceau de démo. Je pense pas qu'il y ait de souci mais je dormirai mieux en étant sur de ça :D

Alors voilà, j'ai un ensemble de points dont je donne une écriture binaire $\beta_0,\beta_1,\ldots$. Il s'agit de démontrer que le nombre d'écritures binaires différentes réalisées est indénombrable.

Je peux montrer qu'à partir d'un développement partiel $\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_n$ je peux trouver deux points $x,x'$ tels qu'ils réalisent tous les deux le développement partiel mais dont le développement total est différent. Je peux donc réaliser tous les développements partiels de au moins deux manières différentes. Est-ce que je peux conclure sur l'indénombrable ?

Merci =D

Édité par Coyote

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Je vais peut être dire un truc con, mais si tu prends deux écritures avec les $\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_n$ identiques, et pour l'un $\beta_{n+1} = 0$ et l'autre $\beta_{n+1} = 1$, ça ne suffit pas à avoir deux points différents avec le même développement partiel ?

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Je peux montrer qu'à partir d'un développement partiel β0,β1,…,βn je peux trouver deux points x,x′ tels qu'ils réalisent tous les deux le développement partiel mais dont le développement total est différent. Je peux donc réaliser tous les développements partiels de au moins deux manières différentes. Est-ce que je peux conclure sur l'indénombrable ?

Soit $P$ ton ensemble de développement partiel, on note $T_p$ avec $p\in P$ l'ensemble des développements totales associés au développement partiel $p$. L'ensemble des développements totales est donc $\bigcup_{p\in P}T_p$ Donc si $P$ et chacun des $T_p$ est dénombrable alors l'ensemble des développements totales l'est aussi, ce que ton message laisse sous-entendre : si tu peux écrire $\beta_0 \beta_1 ... \beta_n$ alors $P$ semble être $\{0,1\}^n$ avec $n\in\mathbb{N}$ et tu sembles dire que $Card\{T_p\}\in\mathbb{N}$.

Édité par Freedom

Bonsoir,

Je peux montrer qu'à partir d'un développement partiel β0,β1,…,βn je peux trouver deux points x,x′ tels qu'ils réalisent tous les deux le développement partiel mais dont le développement total est différent. Je peux donc réaliser tous les développements partiels de au moins deux manières différentes. Est-ce que je peux conclure sur l'indénombrable ?

Non, tu ne peux pas. Je te donne un contre-exemple. Tu prends comme ensemble : l'ensemble des nombres réels dans $[0, 1]$ dont le développement binaire peut s'écrire comme une suite finie de $0$ et de $1$. Il est dénombrable comme union dénombrable d'ensembles finis (l'union sur les naturels des ensembles dont le développement binaire a $n$ éléments). Pourtant, pour chaque développement partiel $\beta_0,...,\beta_n$, il existe deux points qui ont ce même développement partiel mais dont le développement binaire total est différent : $x = 0.\beta_0,...\beta_n,1,0$ et $x = 0.\beta_0,...\beta_n,1,1$.

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Staff
Auteur du sujet

Non, tu ne peux pas. Je te donne un contre-exemple. Tu prends comme ensemble : l'ensemble des nombres réels dans $[0, 1]$ dont le développement binaire peut s'écrire comme une suite finie de $0$ et de $1$.

Arunolin S.

Wat ? C'est quoi le développement binaire fini de $\sqrt{2}/2$ ?

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Staff
Auteur du sujet

D'accord je n'avais pas compris la réponse (le dont était trompeur, je l'ai lu comme étant une proprio des nombres entre $0$ et $1$ et non comme un "et" logique).

Bon comme la démo dont je tire ça est issu d'un Fields je vais essayer de poster la version complète pour avoir plus d'explications … j'ai du rater un élément.

Voilà la situation : on considère $J$ l'ensemble de Julia de $f$, une fraction rationnelle de degré au moins 2. Il s'agit de démontrer que $J$ est soit une unique composante connexe soit composé d'une infinité indénombrable de composantes connexes. On note $f^i$ la $i$-ième compo de $f$.

On va supposer que $J$ n'est pas connexe, il s'agit alors de démontrer que $J$ admet une infinité indénombrable de composantes connexes. Puisque $J$ n'est pas connexe on peut l'exprimer comme union disjointe de deux ensembles non vides : $J = J_0\cup J_1$.

Maintenant, soit $z\in J$. On assigne à $z$ la séquence infinie binaire $(\beta_0,\beta_1,\beta_2,\ldots)$ définie par : pour tout $i\in\mathbf{N}$, on a $\beta_i=0$ si $f^i(z)\in J_0$ et $1$ sinon. Il est clair que tous les points d'une composante connexe ont la même séquence binaire par continuité.

Ainsi, il suffit de montrer qu'une infinité indénombrable de séquences binaires peuvent être réalisées (pas nécessairement toutes).

On suppose démontré :

Soit $(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_k)$ une séquence binaire finie qui peut être réalisée par $z'\in J$. Alors il existe $z''\in J$ qui réalise cette séquence finie et il existe $n>k$ tel que $\beta_n(z')\neq\beta_n(z'')$ (les notations sont claires).

Ainsi (et je mets le passage en anglais original) :

Thus, every finite bit sequence which is realized by a point of $J$ can be extended in two or more different ways. It then follows easily that it can be extended in uncountably many different ways, as required.

Voilà … Bon j'espère que vous voyez ce qui m'échappe :(

Édité par Holosmos

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En fait rien ne dit que $T_p$ est dénombrable, si ?

Holosmos

J'en sais rien, je connaissais pas le problème complet (avant ton dernier message) mais comme tu disais "par exemple 2" dans ton premier message, j'ai extrapolé à $Card\{T_p\}\in\mathbb{N}$. Mais en effet j'ai aucun certitude sur ce point.

J'ai pas encore lu en détail ton dernier message, mais je suis pas certain de pouvoir t'aider.

Staff
Auteur du sujet

Pour conclure, c'est indénombrable puisque si l'ensemble avait un nombre dénombrable de composantes connexes, le nombre d'écritures serait de $2^{\mathbf{N}}$, absurde.

Merci pour vos appréciations :-).

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