Unicité matrice rotation

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Une petite question rapidement :

Y-a-t-il unicité des matrices de rotation ?

Je m’explique : pour obtenir une orientation quelconque d’un solide dans l’espace, on peut définir trois rotation (une autour de chaque axe) et donc définir l’orientation par trois angles. Ces angles ne sont pas les mêmes selon l’ordre des axes choisis, mais quelque soit cet ordre il est toujours possible d’obtenir toutes les orientations possibles.

Est-ce qu’a une même orientation finales corresponds toujours une même matrice de rotations ? Dit autrement si Rx·Ry·Rz donne la même orientation finale que R’y·R’x·R’z, est-ce que Rx·Ry·Rz = R’y·R’x·R’z ?

Autre manière de formuler la même question : la matrice de rotation finale dépends-elles de l’ordre des axes rotations.

Merci d’avance.

Salut,

Y-a-t-il unicité des matrices de rotation ?

Oui, pour montrer ça on peut faire 2 lignes d’algèbre :

Si 2 matrices R1R_1 et R2R_2 donnent la même orientation finale, cela veut dire que quel que soit le vecteur uu considéré on a R1u=R2uR_1 u = R_2 u.

Par ailleurs, si on prend u=(1,0,0)Tu=(1,0,0)^T alors R1uR_1 u représente la première colonne de R1R_1 (et on peut faire une opération du même type pour les 2 autres colonnes). En utilisant R1u=R2uR_1 u = R_2 u, on voit que les 2 matrices ont les mêmes colonnes.

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