Etude d'un flux de chaleur entre deux milieux à travers une ouverture

Bonjour,

Je suis actuellement en classe de MP, j’ai donc quelques notions en thermodynamique et en statique des fluides.

Cela fait maintenant plusieurs jours que je fais des recherches, j’ai trouvé bon nombres de cours et de thèses sur la convection, cependant je ne vois toujours pas comment aborder mon problème, i.e j’aimerais étudier le transfert de chaleur qui s’effectue entre deux milieux de températures différentes à travers une ouverture. Par exemple comme quand on sort d’une maison et que l’on ouvre une porte.

Je vous remercie de l’attention que vous porterez à ce sujet.

Salut,

j’aimerais étudier le transfert de chaleur qui s’effectue entre deux milieux de températures différentes à travers une ouverture. Par exemple comme quand on sort d’une maison et que l’on ouvre une porte.

C’est super large et riche comme problème. Quel est le contexte, c’est un projet pour la prépa ? Ton premier problème est déjà de poser une question physique plus précise (et donc restreinte) sur ce que tu veux étudier.

Du plus simple au plus compliqué, sans même entrer dans les détails de ces problèmes :

• étudier un système de petite taille (i.e. où la gravité ne joue pas de rôle) de deux boîtes fermées avec une ouverture entre les deux et une condition initiale avec des états différents ;
• étudier un système plus large (où la gravité joue un rôle) entre deux boîtes fermées et une ouverture entre les deux ;
• étudier un système avec une des deux boîtes infinies (l’extérieur de la maison) ;
• l’un des deux cas précédent en ajoutant ce qui se passe lorsqu’on ouvre la porte (ce qui agite l’air au passage).

Je pense que le second scénario est probablement plus près de ce qui t’intéresse puisque tu parles de convection et aussi suffisamment simple pour être accessible.

Maintenant, tu as la question de l’angle sous-lequel aborder le problème. Tu veux faire une simulation numérique ? Analogique ? Une étude analytique (probablement le chemin le plus sûr pour être honnête) ? Quel aspect physique t’intéresse plus particulièrement ? Quantifier la quantité de chaleur échangée entre les deux boîtes au cours du temps ?

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Alors, je souhaite en effet partir sur le plus simple. Donc le deuxième scénario me convient très bien. De plus oui, quantifier la quantité de chaleur échangée entre les deux boites au cours du temps est je pense, ce qui m’intéresse.

Le but serait de relier ces pertes à l’empreinte carbone d’un bâtiment. On partirait comme vous l’avez dit de conditions initiales : une boite à Tf (la maison) et une autre à Tc (l’extérieur), donc la maison serait chauffée en continu et je suppose que la chaleur transmise à l’extérieur serait alors négligeable. Ainsi, non je ne souhaite pas étudier ce qui se passe à l’ouverture d’une porte. L’expérience débuterait après son ouverture.

Enfin, je souhaitais dans un premier temps partir sur une étude analytique.

Par ailleurs, oui c’était initialement un projet pour la prépa, mais maintenant c’est plus personnel (réussir un projet qui m’a mis en échec grosso modo).

J’espère avoir été assez clair et je vous remercie pour votre aide.

Sans te donner toute la réponse, une manière de modéliser (de manière analytique) le transfert de chaleur d’un milieu à un autre peut être traité via l’équation de la chaleur (qui porte bien son nom, du coup). La solution de cette équation fournit (à peu de chose près) la température en tout point de l’espace et en tout moment dans le temps.

Sous certaines conditions (très drastiques), celle-ci est simple à résoudre (et la solution est simplement la loi de Newton). Tout le problème vient du fait que plus les conditions à décrire sont "réalistes", plus la solution de cette équation devient compliqué à trouver, pour ne pas dire impossible (comprendre qu’il n’est plus possible de trouver une formule analytique décrivant l’évolution dans l’espace ou le temps). Il faut alors employer des simulations numériques.

Je pense qu’avant de t’intéresser à la convection (qui peut se révéler très complexe à décrire), tu devrais déjà te renseigner sur ce qui est fait avec d’autres modèles simplifiés (généralement basés sur la loi de Newton), quitte à en souligner ensuite les défauts.

Le but serait de relier ces pertes à l’empreinte carbone d’un bâtiment.

Juste pour que tu conserves des attentes réalistes, modéliser ce problème de façon un peu sérieuse sous l’angle de la mécanique des fluides est complètement hors de ta portée. Même dans le génie civil (et dans beaucoup de branches de l’industrie concernées par les échanges de chaleur, en fait), on ne résout pas le problème physique complet formulé comme un problème de mécanique des fluides, on utilise un mélange ad hoc de modèles paramétrisés hyper-simplifiés (du genre de la loi de Newton mentionnée par @pierre_24) et de mesures pour estimer les coûts énergétiques d’un bâtiment.

Donc si ce qui t’intéresse est ce problème de génie civil particulier, il faut aller voir du côté de ce qui se fait dans l’ingénierie avec des modèles approchés plutôt que de celui de la mécanique des fluides et de la thermodynamique.

Si c’est la mécanique des fluides qui t’intéresse, il y a des tas de petits modèles analytiques ou semi-analytiques sympa que tu peux faire dans des cas simplifiés (comme ceux que je discute dans mon premier message). Par exemple, partir de l’énergie potentielle disponible dans l’état initial du système peut assez facilement permettre de dérouler des lois d’échelles sur les vitesses du fluides ainsi que les temps d’équilibrage du système. Une étude de stabilité linéaire (où tu développes linéairement les perturbations autour de l’état initial) permet aussi d’avoir des idées sur le démarrage de la convection à partir d’une condition initiale sans avoir à trop se fouler côté numérique.

Bonjour pierre_24,

Merci pour ta réponse.

L’équation de la chaleur est au programme de MP, je l’ai donc vu cette année. Cependant, je ne pense pas que celle ci colle avec le cadre de mon étude, puisque l’on ne peut pas approximer l’étude d’un fluide à de la conduction (il me semble).

En effet, j’ai conscience que la convection est très complexe mais je pense que pour mon étude c’est le mode de transfert le plus approprié (mais je suis preneur de toutes propositions évidemment). J’ai par ailleurs commencé à apprendre un cours : http://www.legi.grenoble-inp.fr/people/Philippe.Marty/cours-convection-M2.pdf, mais je me suis rendu compte que ça n’allait peut être pas suffire, c’est pourquoi je suis venu ici pour que l’on m’oriente peut être plus justement.

Par ailleurs on a aussi vu la conducto convection, mais encore une fois cela ne colle pas avec mon étude (quantifier l’échange de chaleur entre deux milieux à travers une ouverture).

Merci pour votre réponse adri1.

J’ai bien conscience qu’à mon niveau d’étude c’est peut être trop difficile, donc j’aimerais en effet partir plutôt sur ce que vous avez dit, i.e partir sur de la mécanique des fluides avec un modèle simplifié analytique plutôt que du côté du génie civil (abandonnons cette empreinte carbone :)).

Donc pour revenir à mon modèle selon vous il faudrait plutôt partir sur de la mécanique des fluides pour étudier cet échange de chaleur ? (un mélange de thermo et de méca des fluides peut être ?)

L’équation de la chaleur est au programme de MP, je l’ai donc vu cette année. Cependant, je ne pense pas que celle ci colle avec le cadre de mon étude, puisque l’on ne peut pas approximer l’étude d’un fluide à de la conduction (il me semble).

L’approche "ingénieur" consiste souvent à voir une zone convective comme une zone diffusive avec une forte diffusivité thermique (négligeant effectivement les couches limites), et on retombe sur une paramétrisation à la Newton. Sur les aspects qui t’intéressent plus, l’équation de la chaleur apparaît très souvent sous une forme ou une autre quand on fait de la convection (la première équation de ton document est d’ailleurs l’équation de la chaleur !). Seule, elle ne permet pas d’aller bien loin, mais avec les équations de conservation de la masse et du moment, elle est fondamentale en dynamique des fluides.

Je ne sais pas ce qu’est la "conducto-convection", ça ressemble à une invention "pédagogique" qui ne fait que rendre le discours plus obscur que nécessaire. Dès que tu as un transfert de chaleur par mouvement (i.e. de l’advection) dans un fluide, le cadre général pour étudier les transferts de chaleur est, comme tu le dis, la convection. Si on ne veut pas faire des grosses approximations à la machette, ça implique effectivement de la mécanique des fluides et de la thermodynamique hors-équilibre (l’équation de la chaleur étant en fait une équation de conservation de l’énergie formulée sur l’énergie interne, enthalpie ou entropie, et les équations étant généralement fermées par une équation d’état et/ou une approximation de compressibilité).

j’aimerais en effet partir plutôt sur ce que vous avez dit, i.e partir sur de la mécanique des fluides avec un modèle simplifié analytique

OK, ça parait relativement raisonnable si c’est un projet personnel. Si c’est un projet scolaire, je t’inviterai à plus de prudence et à partir sur autre chose, tu as quand même pas mal de bagage à acquérir en mécanique des fluides, donc ça peut être sérieusement limitant. Le document que tu as trouvé est pas trop mal mais un peu léger et très axé applications industrielles plutôt que physique. Si tu as accès à une BU, je peux conseiller Fluid dynamics, chapitres 1, 3, 6 et 7 (Rieutord, 2015). Hydrodynamics instabilities (Charru, 2011) est aussi très bon, notamment pour ces questions de stabilité linéaire dont je parlais, mais c’est assez technique.

Bonjour,

Je vous remercie pour tous vos précieux conseils, je n’ai pour l’instant pas accès à une BU (mais je ne manquerai pas de lire vos recommandations si l’occasion se présente), heureusement j’ai pu me dégoter des cours sur la mécanique des fluides (toujours ici). Je vais donc partir sur ça et je me permettrai de revenir vers vous si le besoin s’en fait sentir (pour l’instant y a du boulot :))

Mouais, ce cours est pas terrible d’un point de vue physique, il est vraiment axé ingénierie avec des approximations cachées. En fouillant dans ma bibliographie, j’ai retrouvé ce cours de Marc Rabaud qui est plus axé physique et beaucoup plus riche. C’est une introduction très solide et assez vaste.

Et bien merci beaucoup, je vais partir sur celui-ci dans ce cas.

Bonjour,

Je reviens vers vous après avoir appris un minimum de bagages sur la convection et la dynamique des fluides.

Malheureusement je ne vois toujours pas comment faire. Je suis parti sur le modèle suivant : On a deux grosses boites aux parois adiabatiques qui contiennent chacune de l’air à une température différente et cet air circule à travers une ouverture. J’essaye donc de déterminer le flux de chaleur passant à travers cette ouverture et de déterminer une équation modélisant l’évolution de la température dans la boite la plus chaude. On avait donc dit que le principal mode de transfert était la convection naturelle. Dans les cours que j’ai trouvé les exemples qui sont donnés sont par exemple de la convection le long d’une paroi, dans une conduite ou entre deux plaques planes mais je ne vois pas comment faire pour transposer ces situations à ma situation.

J’ai donc demandé de l’aide à une IA (oups) qui m’a dit que pour faire cela je pouvais tout simplement utiliser cette équation Q = hA(T_in - T_out) pour modéliser les échanges entre les deux boites, mais d’après mon cours cela concerne un échange entre un fluide et un solide. De plus, d’après mon cours les équations régissant la convection sont celles de Navier-Stokes, cependant je ne vois pas comment les déterminer pour qu’elles correspondent à mon problème. (Il me semble en effet que ces équations modélisent le chauffage d’une pièce et/ou les applications évoquées précédemment, pour la convection j’ai pris appuis sur ce cours : http://www.legi.grenoble-inp.fr/people/Philippe.Marty/cours-convection-M2.pdf chapitre 1 et chapitre 4 de plus pour la dynamique des fluides j’ai jonglé du cours que vous m’avez donné à l’autre de philippe marty (votre cours étant peut être trop détaillé pour ce que je veux faire)).

(Je me permets de repréciser ici que si ce projet contient des contraintes de temps, je te conseillerai de partir sur autre chose parce que c’est tout de même un gros morceau pour quelqu’un qui n’a jamais fait de dynamique des fluides).

J’ai jeté un œil plus attentif au cours de Marty, et je réitère qu’il n’est vraiment pas terrible pour construire une bonne compréhension physique parce qu’il n’y a pas de physique dedans. C’est une collection de cas classiques d’ingénierie, lire ça ne n’apportera rien pour résoudre ton problème (et je pense même que ce document est incompréhensible pour quelqu’un qui n’a pas déjà des bases de dynamique des fluides). Il manque aussi des bouts importants, par exemple ses équations sont écrites avec une hypothèse d’incompressibilité qui n’est pas détaillée (visiblement Boussinesq), et, de manière assez ironique, ses équations de continuité (i.e. de conservation de la masse) sont écrites pour un fluide compressible dans deux repères arbitraires (p. 27). C’est pas très rigoureux, et ce genre de détail est typiquement ce que tu as besoin de comprendre pour pouvoir poser ton problème correctement. Le cours de Rabaud que j’ai mis en lien est beaucoup plus physique. Il est détaillé oui, mais c’est justement ce qui le rend adapté à tes besoins. Comprendre comment les différentes équations de conservation (masse, moment, énergie), les hypothèses de compressibilité (diverses approximations vs choix d’une équation d’état), et les conditions au bords se complètent est essentiel pour pouvoir définir ton problème physique et le formaliser sous forme d’un problème de dynamique des fluides.

J’ai donc demandé de l’aide à une IA (oups) qui m’a dit que pour faire cela je pouvais tout simplement utiliser cette équation Q = hA(T_in - T_out) pour modéliser les échanges entre les deux boites

Bon déjà, les IA qui sont à la mode en ce moment ne sont pas du tout conçues pour répondre à ce genre de problèmes (et je trouve qu’il est franchement déplorable que la comm derrière est orientée pour le faire croire ). La réponse qui t’a été donnée est une solution typiquement utilisé dans l’ingénierie (et déjà discutée dans ce sujet). Elle est en fait quasiment vide de physique, parce que le paramètre $h$ est défini comme $Q/(A\delta T)$, donc ça t’avance pas pour déterminer $Q$. La seule physique là-dedans est de dire que le flux est proportionnel à l’écart de température (pas trop faux dans plein de contextes industriels, mais physiquement c’est pas subtil !). Ce qu’on fait en pratique dans l’industrie est prendre un système connu proche du sien, pomper la valeur de $h$ qui a été mesurée expérimentalement, et l’appliquer à son problème. Ça marche très bien pour tout un tas d’applications industrielles, et le but n’est pas de faire de la physique mais de quantifier une grandeur à l’arrache pour dimensionner un système quelconque avec le but de se faire du blé.

De plus, d’après mon cours les équations régissant la convection sont celles de Navier-Stokes, cependant je ne vois pas comment les déterminer pour qu’elles correspondent à mon problème. (Il me semble en effet que ces équations modélisent le chauffage d’une pièce et/ou les applications évoquées

Les équations de Navier-Stokes sont une formalisation de plusieurs idées physiques assez fondamentales (l’existence d’une échelle mésoscopique pour la description des fluides d’une part, et la conservation de la masse, du moment, et de l’énergie d’autre part). Leur cadre d’application est donc beaucoup plus large et général que "le chauffage d’une pièce".

On a deux grosses boites aux parois adiabatiques qui contiennent chacune de l’air à une température différente et cet air circule à travers une ouverture. J’essaye donc de déterminer le flux de chaleur passant à travers cette ouverture et de déterminer une équation modélisant l’évolution de la température dans la boite la plus chaude

Tu pourrais commencer encore plus simple. Une seule boîte 2D carrée, avec comme condition initiale une moitié froide et une moitié chaude. Quantifier l’énergie potentielle disponible dans la boîte te donnera une échelle d’énergie cinétique et donc de vitesse maximale que tu peux obtenir, ce qui te donnera une échelle de temps pour mélanger l’air dans la boîte. Note qu’il n’y a pas à s’embêter avec Navier-Stokes là, par contre ça te force à réfléchir à l’hypothèse de compressibilité que tu vas choisir. Une fois que tu as ça, on peut voir comment raffiner.

Un truc me chipote, donc je vais quand même poser la question: pourquoi est ce qu’on a besoin de Navier-Stockes dans un cas qui me parait par ailleurs affreusement simple ? Dit autrement, est ce que tu as réellement besoin de connaitre la température en tout point de la pièce et en tout temps avec une précision de fou furieux, ou est ce qu’une évolution de la moyenne (dans la pièce) est suffisante ? Et qu’est ce qui justifierai de devoir aller plus loin dans le cas qui t’occupes ?

Si on prend un setup de dynamique des fluides, il y a, vu de loin, plusieurs niveaux de réponses possible à une question telle que "comment la température moyenne évolue" :

• tu réutilises un modèle paramétrisé à partir d’expériences/simulations, c’est bien si ce qui t’intéresse est la réponse plutôt que le problème physique ;
• tu fais des lois d’échelles à la machette (comme ce que je propose avec l’énergie potentielle dans la boîte), ça peut dans certains cas tomber pas trop mal ;
• tu raffines ces lois d’échelles en manipulant des formes intégrées de Navier-Stokes, des fois ça fait sortir des relations intéressantes (les shallow water equations sont un exemple classique où ça marche très bien);
• dans un esprit un peu similaire au point précédent, tu simplifies l’espace des solutions et tu l’injectes dans Navier-Stokes (utile quand tu as des symétries) ;
• tu te cognes les équations avec une hypothèse d’incompressibilité (ça marche dans beaucoup de systèmes "quotidien") ;
• tu te cognes les équations compressibles complètes.

Si tu veux faire un truc un peu plus raffiné que soit reprendre une solution approchée qui existe déjà, soit faire des lois d’échelles grossières, tu te retrouves assez vite à devoir manipuler Navier-Stokes (même si c’est sous des formes simplifiées à divers degrés).