Quelques remarques :
1.
A plusieurs endroits tu fais des égalités entre fonctions et nombres (type $f=0$), c'est volontaire ?
C'est en réalité $f(x) = 0$, je devrais probablement préciser.
2.
Tu devrais définir ta notation $f^{n^\prime}$.
Ça correspond à la $n$e dérivée. Il existe également $f^{(n)}$ mais je ne suis pas ffan de cette notation. Je préciserai au début.
3.
Je vous rappelle que l'on note une simple fonction allant de $\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ de la sorte : $y=f(x)$.
Je trouve pas la formulation très clair, une simple fonction je peux très bien écrire : "Je note $f$ une fonction quelconque" sans avoir écris $y=f(x)$ qui est une équation.
4.
Tu utilises degré à la place de ordre dans les exemples.
Parce que je fais remarquer que globalement, une fonction correspond à une équation. En faisant varier $x$ ou toute autre variable, le but est de trouver une valeur pour $f(x)$. Donc ce $f(x)$ est égal à quelque chose d'où la présence d'une équation.
5.
on se doute bien que dans le cas de dessus, il y a de fortes chances que la fonction $f$ soit relativement proche de la fonction
Je trouve oser le "on se doute bien". Tu as oublié ou mis en trop des $\prime$ dans cette partie d'ailleurs.
Nous pouvons supposer serait plus adapté selon toi ? Et pour les $'$ manquants, ça a été corrigé dans la mise à jour.
6.
Et comme $e^{\mu x}$ ne peut jamais valoir $0$
Ça d'accord, par contre ta démonstration entre parenthèse n'apporte rien AMA (et je la trouve mauvaise personnellement).
Qu'est-ce que tu y trouves de faux/mauvais ?
7.
Or, dans un problème réel, seule une (ou peut-être quelques unes mais relativement peu) nous intéresse.
Un peu osé comme constat, quand je cherche les modes propres du champ électromagnétique dans le vide, l'ensemble des solutions n'est pas petit.
Donc uniquement parler des problèmes de Cauchy comme un moyen de réduire l'ensemble des solutions, ne pas comparer en parlant de petit ou de peu, c'est ça ?
8.
Ta formulation normale d'une EDO linéaire d'ordre 1 suppose que $a_1$ ne s'annule pas. Idem dans la suite, ta séparation des variables suppose que $q$ ne s'annule pas.
si $a_1(x)$ s'annule, nous n'avons plus affaire à une EDO d'ordre 1, nous avons directement $f(x) = ...$. Et si $q(f)$ s'annule, on a $f'(x) = 0$ donc $f(x) = C$. Mais il faut le préciser, c'est vrai.
9.
J'ai rien contre ton signe d'assertion, mais si on peut dire "posons a égal à b" alors pourquoi utiliser un nouveau symbole et pas $Soit, a=b$ ?
Parce que je trouve cela personnellement plus clair. C'est un symbole d'assertion fréquemment utilisé, je trouve ça plus clair que d'écrire posons …. C'est une question de préférence.
10.
Les signes de sommation sans espace de définition de la variable muette, ça me gène un peu dans un document centré sur les maths personnellement.
Je ne comprends pas ce que tu veux dire. Tu pourrais développer sil te plait ?
11.
nous pouvons utiliser la réciproque de
Faut-il encore qu'elle existe.
Tout à fait juste, à préciser également.
Merci de ton commentaire constructif !
je dirais que c'est un tutoriel qui peut être commencé avec un niveau Terminale STL (surement S aussi, mais je ne saurais dire). 
. Ce n'est pas possible de connaitre tout les systèmes scolaire (sachant qu'ils changent sans cesse) c'était pour apporter un étalonnage. 
