Définition d'un opérateur

Exemple : l'hamiltonien

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Auteur du sujet

Bonjour,

En cours, nous avons défini l'opérateur hamiltonien en une dimension de la manière suivante :

$H = -\dfrac{\hbar^{2}}{2m} \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + V(x)$

Et quand on l'applique à une fonction d'onde $\psi$, on obtient cela :

$H\psi = -\dfrac{\hbar^{2}}{2m} \dfrac{\partial^{2}\psi(x)}{\partial x^{2}} + V(x)\psi(x)$

Seulement, je me demandais si c'était une manière courante de définir un opérateur en physique. Ca ne me semble en effet pas très clair. Par exemple, que vaudrait $O\psi$ si $O$ est un opérateur défini comme suit :

$O = \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + A(x) + B(x)$

A priori, plusieurs possibilités, impossibles à départager sans plus de précisions :

$O\psi = \dfrac{\partial^{2}\psi(x)}{\partial x^{2}} + A(x) + B(x)$

$O\psi = \dfrac{\partial^{2}\psi(x)}{\partial x^{2}} + A(x)\psi(x) + B(x)$

$O\psi = \dfrac{\partial^{2}\psi(x)}{\partial x^{2}} + A(x) + B(x)\psi(x)$

$O\psi = \dfrac{\partial^{2}\psi(x)}{\partial x^{2}} + A(x)\psi(x) + B(x)\psi(x)$

Merci !

+0 -0
Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Salut,

Bizarre comme définition de l'Hamiltonien…

Sinon, pour ton exemple, il n'y a pas ambiguïté. La dernière solution est la seule possible (comme si $O\psi$ était un produit).

Si tu as besoin de plus de précision, tu peux définir ton opérateur exactement comme une fonction. Par exemple, noter $L:x\mapsto Ax+B$, ou encore de manière encore un peu différente $L:A\bullet +B$. La notation $\bullet$ désigne une variable muette.

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

+2 -0
Staff

Je confirme, seul la dernière est vrai.

C'est une notation assez général, on la trouve aussi en hydrodynamique ou en électromagnétisme, avec tous les \nabla = \dfrac{\partial}{\partial x_i} et autre \Delta = \dfrac{\partial}{\partial x_i^2} Édit : Hum hum, non.Voir plus bas.

Quant au hamiltonien, il n'est pas bizarre, mais pire : quantique !

Édité par Gabbro

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

+2 -0
Staff

Quant au hamiltonien, il n'est pas bizarre, mais pire : quantique !

Ce qui me parait bizarre en fait, c'est de le définir de cette façon. J'aurais tendance à partir de la définition générale temporelle (la définition de base du Hamiltonien donc) puis utiliser l'équation d'onde pour tomber sur cette forme plus "secondaire" selon moi. M'enfin c'est pas très important.

Par contre, ta notation du laplacien cartésien me laisse un peu perplexe, il faudrait doubler les indices $\nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_i}$ pour montrer qu'il y a une somme, non ? Ou alors tu parles d'un autre opérateur ?

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+1 -1
Staff

Perplexité légitime, car j'ai écrit de la merde. En coordonné cartésienne, sans la sommation implicite,

$\vec{\nabla} \bullet = \sum_{i=1}^3 \vec{e_i} \dfrac{\partial}{\partial x_i} \bullet$

$\Delta \bullet = \sum_{i=1}^3 \dfrac{\partial^2}{\partial x_i ^2}\bullet$

Sinon, j'imagine que le fait de faire une sommation implicite avec un $x_i^2$ te gène. Si c'est ça, c'est un truc que je voie régulièrement, mais j'ignore s'il est rigoureux. Pour autant que je sache, ça dépend des domaines, et les gens qui font de la mécanique ou de la relativité sont plus exigeant (indice en haut et en bas…).

@Blackline : $\Delta = \vec{\nabla}^2$

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

+1 -0
Staff

Et même pour être plus complet, $\Delta=\nabla^2=\nabla\cdot\nabla=\nabla^t\nabla$.

Le $x_i^2$ pour une somme implicite me gène effectivement. Cela dit, si on sait de quoi on parle, ça passe sans problème. Par contre, je ne sais pas si c'est très répandu, mais nous on a plutôt l'habitude de noter ça simplement $\nabla^2=\partial^2_{ii}$. C'est encore plus léger. ^^ Du coup, j'imagine que sur des opérateurs aussi courant, tout le monde fait un peu à sa sauce et ça ne pose pas tellement de problème tant que tous ceux qui bossent ensemble ont la même convention.

Édité par adri1

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+2 -0
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