Fonction intégrable mais non exprimable

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonjour à tous,

L'autre jour j'ai une phrase qui m'a particulièrement frappée en cours d'Analyse: "certaines fonctions sont intégrables mais non exprimables". Il n'a pas été en détails car j'imagine que ça sera développé dans le cours sur l'intégration dans quelques semaines. En faisant quelques recherches personnelles, j'ai pu lire qu'une primitive d'une gausienne par exemple n'était pas exprimable tout comme une fonction $f$ plus simple définie par $f(x) = {e^{ - {x^2}}}$ .

Je trouve cela assez curieux… Je voulais savoir aussi grâce à quel théorème on peut dire si une fonction est intégrable ?

Comme quoi, au lycée on nous ment pas mal :o

+0 -0

Je voulais savoir aussi grâce à quel théorème on peut dire si une fonction est intégrable ?

Toute fonction continue admet une (infinité de) primitive(s). J'ignore en revanche si la réciproque est vraie.

+0 -0

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Salut,
C'est le théorème de Liouville (qui détermine si une primitive est exprimable ou pas). Une explication dans ce pdf :
http://denisfeldmann.fr/PDF/liou.pdf

J'ai pas lu, mais ça a l'air de faire appel à des trucs de haut niveau (donc que tu ne verras pas forcément dans les semaines à venir).
En gros, on considère l'ensemble des fonctions élémentaires : log, racine, exp, puissances, addition et multiplication, cos/sin/tan plus toutes les fonctions issues de combinaisons de ces fonctions (genre log(racine xxx)).
Le théorème montre que les primitives des fonctions de cet ensemble ne sont pas forcément dans cet ensemble (donc ne sont pas exprimables avec des combinaisons de fonctions élémentaires).

Édité par Looping

Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte