Régime sinusoïdale - Représentation complexe

Euh... rho et phi m'ont largué ...

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Auteur du sujet

Bonjour aux physiciens, et autres aventuriers :D

Suite à un cours, que je qualifierais de sommaire sur le régime sinusoïdale, des questions sans réponse me bloquent dans ma compréhension du cours.

On me donne ceci :

$$ \left\{\begin{aligned} Z &= Z_1Z_2 \\ (\rho,\varphi)&=(\rho_1,\varphi_1)(\rho_2,\varphi_2) \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned} \rho &= \rho_1\rho_2 \\ \varphi&=e^{j(\varphi_1 + \varphi_2)} \end{aligned}\right. $$

Les complexes et moi, j'admet que ça fait pas bon ménage, si quelqu'un pouvait me dire pourquoi on passe sur un écriture exponentielle ?

Et pourquoi c'est $\varphi$ qui s'écrit sous forme d'exponentielle et d'addition et pas $\rho$ par exemple? Je sais que j'dois en demander beaucoup :( mais ce n'est pas ma matière de prédilection. Si vous avez des pistes je serais trop content de les lires !

Merci pour le temps accordé à la lecture de mon questionnement :)

Édité par Blackline

Нова Проспект

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C'est la multiplication des complexes qui donne l'addition des arguments et la multiplication des modules.
J'ai un tuto en beta sur les complexes ici : https://zestedesavoir.com/tutoriels/beta/840/la-saga-des-nombres-ii-au-dela-du-reel/1100/des-mathematiciens-pleins-dimagination/5247/le-sacre-des-complexes/#2-la-forme-exponentielle

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Les complexes et moi, j'admet que ça fait pas bon ménage, si quelqu'un pouvait me dire pourquoi on passe sur un écriture exponentielle ?

Pour simplifier les calculs : une exponentielle est plus pratique à manipuler qu'un cosinus. Du coup, on suit le raisonnement suivant :

  • On a une onde : $\rho cos(\omega t + \phi)$
  • Mathématiquement, elle représente la partie réelle de $\rho \exp(i(\omega t + \phi))$
  • On fait donc nos calculs avec cette expression, plus simple à manipuler
  • Puis on reprend la partie réelle, qui représente l'onde physiquement

Du moins, c'est ce que j'ai compris de mes cours de prépa.

Édité par Vayel

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Staff

De ce que j'ai compris, $\rho$ représente le rayon et $\varphi$ la partie unitaire (on prend le machin divisé par $\rho$).

Bon et bien c'est à peu près tout ce qu'il y a à dire. On écrit $\varphi$ de cette manière car elle est plus adaptée au fait que $|\varphi| =1$.

Pour ce qui est des formules, tu devrais trouver tes réponses avec le tuto de Looping par exemple. Mais c'est du niveau TS à mon avis, tu devrais pouvoir trouver ça dans tes anciens cours.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Looping : Ce serait cool que tu écrive $z = f(\theta) = ...$ je lis ton tutoriel et j'reviens :)

Vayel : Ca j'avais compris, mais comment passes-t-on précisement d'une forme à l'autre, c'est ce qui me posait problème. Merci

Idéophage : Je n'ai pas ça pour Z=Z1Z2

Holosmos : Je ne viens pas de Terminale S, ce qui fait que j'ai beaucoup moins de réflexe que les gens proches des mathématiques. Du coups j'me sens souvent perdu. J'ai fais des complexes en 1ère, mais je n'en ai aucun souvenir et plus aucunes traces physiques. :(

Нова Проспект

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Staff

Je crois que Vayel a oublié un $i$ dans son écriture.

Mais concrètement pour passer d'une formule à l'autre tu dois utiliser les égalités (de Moivre je crois ? Euler askip) :

$$\forall x \in \mathbf{R},\; \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \; \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}. $$

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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On n'a pas $Z = \rho e^{i\varphi}$ ?

edit : @Holosmos Je crois qu'en physique ils utilisent plutôt la partie réelle (ou imaginaire), comme le dit Vayel (si j'ai bien compris ce que tu dis).

Édité par Idéophage

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Staff

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On n'a pas $Z = \rho e^{i\varphi}$ ?

edit : @Holosmos Je crois qu'en physique ils utilisent plutôt la partie réelle (ou imaginaire), comme le dit Vayel (si j'ai bien compris ce que tu dis).

Idéophage

Ah oui bien sûr, il y a aussi $\cos(x) = {\rm Ré}(e^{ix})$.

En fait il faut garder en tête l'équivalence des écritures : pour $x$ et $y$ réels, $x+iy$ c'est aussi $r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$ avec $r=\sqrt{x^2+y^2}$ et $\theta = \arccos(x/r)$ (ça se mord la queue, pour démontrer que ça marche c'est plus technique) et on a aussi égalité avec $re^{i\theta}$.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Bon ton tutoriel est bien fait ! Première chose :)

Je comprend maintenant mieux l'apparition de l'exponentielle. Mais je ne voit, dans mon cours, $\varphi$ apparaître qu'à ce moment là :

$$a=\rho cos(\varphi)$$
$$b=\rho sin(\varphi)$$
$$tan(\varphi)=b/a$$

ça j'suis sur que ça a un rapport avec la formule de tan() ?

$$z = \rho e^{j\varphi}$$

Et bah malgré tout je ne vois pas comment comprendre "$(\rho,\varphi)=(\rho_1,\varphi_1)(\rho_2,\varphi_2)$" et l'exponentielle. Quelles calculs donnent naissances à ça ?

Merci pour vos participations rapides et efficaces à tous :) !

Нова Проспект

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Staff

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Yup :

$$ \tan(\varphi) = \frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)} = \frac{\rho \sin(\varphi)}{\rho \cos(\varphi)} = \frac{b/a} $$
dans le cas où $b,a\neq 0$.

À priori (c'est mal rédigé tel quel), $(\rho,\varphi) = \rho e^{i\varphi}$ par définition. Après il s'agit juste de savoir multiplier deux nombres complexes sous forme exponentielle.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Staff

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Je comprend maintenant mieux l'apparition de l'exponentielle. Mais je ne voit, dans mon cours, $\varphi$ apparaître qu'à ce moment là :

$$a=\rho cos(\varphi)$$
$$b=\rho sin(\varphi)$$
$$tan(\varphi)=b/a$$

ça j'suis sur que ça a un rapport avec la formule de tan() ?

En effet !
Car $\tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}$ par définition, et tu retrouves bien ça quand tu calcules $b/a$.

L'écriture complexe est juste un moyen "pratique" de manipuler l'information sur les deux seules grandeurs qui suffisent à décrire ton signal sinusoïdal : son amplitude et sa phase.
Ya un côté un peu arbitraire (juste un peu) à poser ça, je te le concède, faut pas le voir comme une absolue vérité physique (car les imaginaires n'ont pas de sens "physique" à proprement parler) mais plus comme une astuce de calcul visant à simplifier des expressions.

blablablabla

Édité par Algue-Rythme

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Alors c'est peut-être parce que je ne connais pas grand chose en physique, mais est-ce que l'on pourrait me confirmer que ce que tu veux dire, c'est que le produit de deux cosinus est encore un cosinus (parce que c'est faux, on a $\cos(a) \cos(b) = \frac{1}{2}(\cos(a+b) + \cos(a-b))$, ce qui se visualise).

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Auteur du sujet
  • On a une onde : $\rho cos(\omega t + \phi)$
  • Mathématiquement, elle représente la partie réelle de $\rho \exp(i(\omega t + \phi))$
  • On fait donc nos calculs avec cette expression, plus simple à manipuler
  • Puis on reprend la partie réelle, qui représente l'onde physiquement

Vayel

Au fait c'est pas un peu la méthode parapluie ça ?

Нова Проспект

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