Algèbre - Combinaisons linéaires

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à comprendre en Algèbre Linéaire la notion de vecteurs qui engendrent un ensemble. Je comprends la notion de combinaison linéaire pourtant… Je voulais aussi savoir- géométriquement à quoi ça ressemble (histoire de comprendre ce que je fais)?

Prenons cet exemple:

Soient

$$\overrightarrow u = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}} \right]$$

$$\overrightarrow v = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right]$$

$$\overrightarrow w = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2} \\ 1 \\ 0 \end{array}} \right]$$

; déterminer si ces trois vecteurs engendrent ${\mathbb{R}^3}$

Je ne comprends pas vraiment ça signifie mais d'après la définition j'ai l'impression que c'est ce calcul que je dois effectuer:

$$\left\{ \begin{gathered} x + 2y = - 3 \hfill \\ 2x = 1 \hfill \\ 3x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Ce système étant inconsistant, ces vecteurs n'engendrent pas ${\mathbb{R}^3}$ .

Je ne suis pas certain et je ne comprends pas très bien pourquoi (ou pourquoi pas).

De plus, je voulais savoir ce que signifiait d'avoir des vecteur linéairement indépendants (là je suis certain du calcul mais je comprends pas pourquoi)

Merci!

Édité par ZDS_M

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Staff

L'engendré de ces vecteurs est l'ensemble des combinaisons linéaires que tu peux réaliser avec ceux-ci.

Ces trois vecteurs engendrent $\mathbf{R}^3$ si tout vecteur de $\mathbf{R}^3$ peut s'écrire comme combinaison de ceux-ci.

Donc, non, j'ai pas l'impression que ton système soit le bon. Déjà parce qu'il faudrait $3$ variables libres pour les $3$ scalaires multiplicatifs pour chaque vecteur donné.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Déjà pour la notion de famille génératrice, ça veut dire que tout vecteur de ton espace vectoriel s'écrit sous forme de combinaison linéaire de vecteurs de la famille génératrice.

Pour le visualiser, prends ta main droite, fais un signe de 3, paume vers le haut. Remonte ton majeur à la verticale. Ca te fait un repère dans l'espace. Choisis un point maintenant. Depuis ce point, déplace-le verticalement pour arriver au plan formé par ton index et ton pouce. Déplace-le ensuite sur la droite passant par ton pouce, et enfin vers l'origine. Tu vois bien que pour aller de l'origine à un point de $\mathbb{R}^3$ il faut te déplacer selon chacun de ces 3 vecteurs. Donc les vecteurs correspondant à tes 3 doigts sont ce qu'on appelle une famille génératrice dans ce cas.

Pour revenir à ton exercice, déjà tu es dans un espace vectoriel de dimension 3, et tu as une famille de 3 vecteurs. Y'a deux possibilités: soit tu as le droit de dire que 3 vecteurs suffisent, et tu as alors juste à montrer que ta famille est libre, soit t'as pas le droit parce que tu as pas encore vu ça en cours et alors il te faudra montrer que tout vecteur de ton espace vectoriel se décompose selon ces 3 vecteurs.

Pour montrer que la famille est libre, tu poses $\lambda$ et $\mu$ tels que $\vec{u} = \lambda \vec{v} + \mu \vec{w}$. Résouds le système. Si $\lambda$ et $\mu$ sont tous les deux nuls alors la seule combinaison nulle de ces 3 vecteurs est triviale et tu as montré la liberté.

Si tu n'as pas le droit à cet argument, il y a une astuce, c'est d'exprimer les 3 vecteurs de la base canonique de $\mathbb{R}^3$ en fonction de tes 3 vecteurs. Ca se fait avec un système.

Édité par anonyme

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Prenons ce schéma :

vect_u_v_plan

Tu connais surement la notion de base : ici, $x$ et $y$ sont une base du plan $(0, x, y)$, car tous les vecteurs de ce plan peuvent s'écrire sous la forme $ax + by$ (on parle de combinaisons linéaires). Les vecteurs $x$ et $y$ engendrent tout le plan. Et les vecteurs $x$, $y$ et $z$ engendrent tout l'espace.

De même, $v$ et $w$ engendrent tout le plan en rose parce que tu peux écrire tous les vecteurs de ce plan sous la forme $av + bw$.

Maintenant prenons les vecteurs $x$, $z$ et $w$. Tu vois qu'ils sont dans le même plan. Ils engendrent le plan $(0, x, z)$. Même s'ils sont 3, ils ne peuvent pas engendrer tout l'espace, parce qu'ils sont dans le même plan. En fait $w$ peut s'écrire sous la forme $ax + bz$. C'est ce que veut dire "x, z et w ne sont pas indépendants", l'un des vecteurs peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres.

Édité par Looping

Auteur du sujet

Merci beaucoup. Je n'ai pas encore vu les espaces vectoriels mais je comprends (je pense). Donc faire $\overrightarrow u = \alpha .\overrightarrow v + \beta .\overrightarrow w $ reviens à faire ce que j'ai fais en haut (premier post) non ? (j'ai simplement choisis $\alpha = x$ et $\beta = y$ ) Aussi, on est d'accord qu'on aurait pu faire montrer ceci aussi $\overrightarrow v = \alpha .\overrightarrow w + \beta .\overrightarrow u $ ? (c'est équivalent)

Pour revenir à mon exercice, je dirais donc qu'ils engendrent R^3 justement car ils ne peuvent pas s'écrire sous forme de combinaisons linéaires. Juste ou toujours incompris de ma part ? :p

PS. On aura à chaque fois un plan qui passe par l'origine avec $Vect(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} )$ (en considérant ces deux vecteurs non colinéaires) ?

Édité par ZDS_M

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Pas exactement, il y a une faute dans ton système: remplace le $-3$ par $-2$. Sinon le système est bon si tu veux montrer que tes vecteurs forment une famille libre.

Fais attention, il y a un piège: tu sais uniquement que ta famille de 3 vecteurs est libre. Ca ne veut pas dire qu'elle est génératrice. Sauf que dans un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ (je précise pas finie), toute famille libre de cardinal $n$ est une base de $E$, et donc on a équivalence (pour les familles de cardinal $n$ uniquement !) de liberté et de caractère générateur. Il faut pas oublier d'utiliser cet argument de la dimension, c'est pas rigoureux autrement et tu risques de prendre des points en moins.

Donc oui, si tes 3 vecteurs forment une famille libre, c'est une famille génératrice; mais ça c'est uniquement parce que tu travailles dans $\mathbb{R}^3$ de dimension 3.

Comme tu dis que tu n'as pas vu les espaces vectoriels, je pense que tu n'as pas vu non plus les notions de famille libre et génératrice, et donc tu n'as peut-être pas le droit de t'en servir. Dans ce cas, fais comme j'avais dit et exprime chacun des vecteurs $(0,0,1), (0,1,0), (1,0,0)$ (la base canonique de $\mathbb{R}^3$) en fonction de tes trois vecteurs. Si tu y arrives, c'est gagné parce que la base canonique engendre ton espace vectoriel.

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Auteur du sujet

OK. Merci! C'est un peu plus clair sauf sur les termes de famille génératrice et de famille libre mais je vais probablement vite les voir en cours. Je trouve ça un peu étrange de faire les espaces vectoriels après mais bon. Sinon pour ton astuce, il suffit de faire ceci ? $\overrightarrow u = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k $ Donc ce vecteur engendre ${R^3}$ ? Je croyais qu'il fallait au moins trois vecteurs afin d'engendrer ${R^3}$ :o

Désolé si ça vous paraît évident mais j'ai un peu de mal et j'essaye de comprendre :p

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Staff

Je croyais qu'il fallait au moins trois vecteurs afin d'engendrer R3 :o

Bien sûr qu'il faut au moins trois vecteurs !

Ce que Grimur t'as dit, c'est de faire en sorte d'exprimer tes trois vecteurs de la base canonique en fonction des vecteurs donnés. Après il est évident que ces vecteurs engendrent $\mathbf{R}^3$ et donc ton exercice est résolu.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Voilà, c'est ça.

Sinon, pour le coup de la famille libre, toute famille de vecteurs telle que pour faire une combinaison linéaire nulle avec il faut avoir tous les coefficients nuls, on appelle ça une famille libre. C'est ce que tu appelais vecteurs indépendants je crois.

Une famille génératrice c'est une famille telle que tout vecteur se décompose comme combinaison linéaire de vecteurs de cette famille. Tu peux avoir une famille non libre (on dit liée) mais génératrice, par exemple si tu prends la base "canonique" de $\mathbb{R}^3$ et tu y rajoutes un vecteur au pif.
Pour plus d'infos regarde ici, c'est bien expliqué.

Édité par anonyme

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PS. On aura à chaque fois un plan qui passe par l'origine avec $Vect(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} )$ (en considérant ces deux vecteurs non colinéaires) ?

ZDS_M

Oui. Tous les vecteurs d'un espace sont engendrés par une combinaison linéaire de vecteurs $a \vec u + b \vec v$. Or, si tu prends $a = b = 0$, tu obtiens le vecteur nul. Un espace vectoriel contient donc toujours le vecteur nul.
Par exemple une droite passant par 0 est aussi un espace vectoriel, il est engendré par un seul vecteur $\vec u$, tous les autres vecteurs s'écriront sous la forme $a \vec u$.

Édité par Looping

Ouais ce système c'est bon. Sauf qu'en fait tu n'as besoin que de 2 variables, ça t'aurait fait un système plus simple. Imagine que tu divises partout par y par exemple, et que tu renommes $x/y$ en $\lambda$ et $z/y$ en $\mu$. De manière générale, il faut éviter de tout compliquer, donc essayer de limiter le nombre d'inconnues.

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Staff

Ouais ce système c'est bon. Sauf qu'en fait tu n'as besoin que de 2 variables, ça t'aurait fait un système plus simple. Imagine que tu divises partout par y par exemple, et que tu renommes $x/y$ en $\lambda$ et $z/y$ en $\mu$. De manière générale, il faut éviter de tout compliquer, donc essayer de limiter le nombre d'inconnues.

Grimur

C'est pas une bonne idée. Sauf si tu t'autorise à diviser par $0$ alors que tu sais que $x,y,z$ seront nuls si le système est libre …

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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La famille est liée si il existe $\lambda,\mu$ tels que $\lambda \vec{u} + \mu \vec{v} = \vec{w}$. Quand je parlais de division c'était pour lui montrer pourquoi il suffit de 2 variables, avec les mains et de manière absolument pas rigoureuse. C'était très mal exprimé, c'est sûr.

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