Le Périmètre, la surface et le volume

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Bonjour aux Mathématiciens, et autres aventuriers.

J'essaye de comprendre comment marche les calculs avec des $\pi$ dans des calculs dont j'ai besoin (en génie industriel, et en cristallographie).

Alors je fouine un peu dans mon cerveau et me souviens qu'on m'a dit qu'il y avait un lien de type dérivé/primitive entre les dimensions qu'on étudie.

En somme un périmêtre, on obtiens une valeur à 1 dimension :

$$2\pi r = P$$

Pour passer alors en dimension 2, on primitive :

$$\int (2\pi r )= \pi r² = S$$

Autrement dit :

$$\frac{d(S)}{dr} = \frac{d(\pi r²)}{dr} = P = 2\pi r$$

Arrêtez moi si je me trompe ?

J'me suis dit tiens c'est cool, j'ai le périmètre d'un cercle, j'ai la surface d'un cercle. Donc j'me dis j'primitive un coups et hop j'ai le volume d'une sphère :D

$$ \int (S) \buildrel \rm ? \over {=} V = \int (\pi r² ) = \frac{\pi r^{3}}3 $$

Mais en fait je découvre avec stupeur que $\frac{\pi r^{3}}3$ ne correspond à rien ? Et que le volume d'une sphère s'écrit :

$$\frac{4\pi r^{3}}3$$

Et là mon questionnement me ramène à cette question :

D'où vient le 4 apparut sans trop de raison ?

Voilà ce que j'ai pensé, le 4 provient d'une tout autre équation. Car en fait une sphère et un cercle/disque n'ont rien en commun !?

Et donc que si on dérivait sans cesse cette équation (avec ce maudit $4$ :p ) on obtiendrait la surface d'une sphère puis le périmètre d'une sphère ?

Est-ce que cette manière de voir les choses est justes chers amis ?

Merci du temps accordé à cette lecture :D

Нова Проспект

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En fait, la bonne manière de voir les choses, c'est d'intégrer non pas la surface du disque, mais la surface d'une sphère (pour en obtenir le volume).

L'idée intuitive est la suivante : si tu passes d'une boule de rayon R à une boule de rayon R + epsilon, alors tu rajoutes un volume qui correspond "en gros" à epsilon * surface de la sphère (la courbure ne compte pas trop si epsilon est petit). Cette construction correspond à des coquilles qui définissent des "couches" dans la sphère.

Il existe bien des formules pour passer du volume d'une hypersphère de dimension n à celle d'une hypersphère de dimension n+1, mais ça utilise (en gros) le cosinus. Dans ce cas, tu construis la sphère (par exemple) par empilement de disques. Le rayon des disques fait alors intervenir les fonctions trigonométriques.

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