Démonstration par récurrence

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Auteur du sujet

Bonjour,

Je dois montrer par récurrence pour $n \geqslant 1$

$\prod\limits_{k = 1}^n {(1 + \frac{1}{k}} {)^k} = \frac{{{{(n + 1)}^n}}}{{n!}}$

Initialisation: n = 1 –> 2 = 2 , OK!. Récurrence: n = l

$\prod\limits_{k = 1}^l {(1 + \frac{1}{l}} {)^l} = \frac{{{{(l + 1)}^l}}}{{l!}}$ (hypothèse notée (H) - supposé vrai).

n = l + 1

$\prod\limits_{k = 1}^{l + 1} {(1 + \frac{1}{{l + 1}}} {)^{l + 1}} = \frac{{{{(l + 2)}^{l + 1}}}}{{(l + 1)!}}$

Je ne vois pas par quoi multiplier pour arriver à la conclusion. Des pistes ? Le plus facile est-il de jouer sur le symbole "produit" (si oui, comment jouer dessus ?) ou de partir de la droite ?

Merci!

Édité par ZDS_M

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Euh, déjà tes variables d'indices sont fausses à partir de l'initialisation. C'est pour ça que tu vois pas. Le problème c'est que dans ta formule avec le signe produit y'a pas de $k$ qui apparaît, relis-toi.

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Euh, déjà tes variables d'indices sont fausses à partir de l'initialisation. C'est pour ça que tu vois pas. Le problème c'est que dans ta formule avec le signe produit y'a pas de $k$ qui apparaît, relis-toi.

Grimur

$\prod\limits_{k = 1}^l {(1 + \frac{1}{l}} {)^l} = \frac{{{{(l + 1)}^l}}}{{l!}}$ (hypothèse notée (H) - supposé vrai).

n = l + 1

$\prod\limits_{k = 1}^{l + 1} {(1 + \frac{1}{{l + 1}}} {)^{l + 1}} = \frac{{{{(l + 2)}^{l + 1}}}}{{(l + 1)!}}$

ZDS_M

Je crois que l'hypothèse correcte est :

$\prod\limits_{k = 1}^l {(1 + \frac{1}{k}} {)^k} = \frac{{{{(l + 1)}^l}}}{{l!}}$ pour $n=l$ avec $n \geqslant 2$

et tu cherches à démontrer que :

$\prod\limits_{k = 1}^{l + 1} {(1 + \frac{1}{{k + 1}}} {)^{k + 1}} = \frac{{{{(l + 2)}^{l + 1}}}}{{(l + 1)!}}$

Tout d'abord Grimur à raison, une faute d'inattention est si vite arrivée… Ensuite si tu ne trouves toujours pas…

Essayes d'écrire ton expression au rang $n=l+1$ en fonction de l'expression au rang $n=l$ et tente de simplifier le tout.

Édité par xande

Pour se tenir au jus sans se faire presser le citron

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Les formules ne sont pas bonne dans le message de xande.

Hypothèse : $\Pi_{k=1}^l(1+\frac{1}{k})^k=\frac{(l+1)^l}{l!}$

Objectif : $\Pi_{k=1}^{l+1}(1+\frac{1}{k})^k=\frac{(l+2)^{l+1}}{(l+1)!}$

Pour le résoudre, extrait le dernier terme du produit comme tu le fais quand tu extrais le dernier terme d'une somme (avec un $\times$ et pas un $+$) :

$\Pi_{k=1}^{l+1}(1+\frac{1}{k})^k=X\times\Pi_{k=1}^l(1+\frac{1}{k})^k$

Je te laisse écrire le $X$ qui convient, ensuite il te suffit d'appliquer ton hypothèse et tu ne devrais plus être loin du résultat.

Édité par Freedom

Les formules ne sont pas bonne dans le message de xande.

Hypothèse : $\Pi_{k=1}^l(1+\frac{1}{k})^k=\frac{(l+1)^l}{l!}$

Objectif : $\Pi_{k=1}^{l+1}(1+\frac{1}{k})^k=\frac{(l+2)^{l+1}}{(l+1)!}$

Pour le résoudre, extrait le dernier terme du produit comme tu le fais quand tu extrais le dernier terme d'une somme (avec un $\times$ et pas un $+$) :

$\Pi_{k=1}^{l+1}(1+\frac{1}{k})^k=X\times\Pi_{k=1}^l(1+\frac{1}{k})^k$

Je te laisse écrire le $X$ qui convient, ensuite il te suffit d'appliquer ton hypothèse et tu ne devrais plus être loin du résultat.

Freedom

Effectivement, je ne me suis pas bien relu non plus… Désolé :S

Pour se tenir au jus sans se faire presser le citron

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Auteur du sujet

Merci ! Je crois que j'y suis.

$\prod\limits_{k = 1}^n {(1 + \frac{1}{k}} {)^k}.{(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}} = \frac{{{{(n + 1)}^n}}}{{n!}}.{(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}}$

$\prod\limits_{k = 1}^{n + 1} {(1 + \frac{1}{k}} {)^k} = \frac{{{{(n + 1)}^n}}}{{n!}}.{(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}} = \frac{{{{(n + 2)}^n}}}{{(n + 1)!}}$ , cqfd. :)

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On peut le voir en écrivant $1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}$. Le produit vaut $\frac{2^1 \times 3^2 \times \cdots \times (n+1)^n}{1^1 \times 2^2 \times \cdots \times n^n}$. Ça fait un produit télescopique, avec à chaque étape un $n$ qui ressort au dénominateur. C'est la même chose que ta récurrence dit autrement.

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