Démonstration par récurrence

Bonjour,

Je dois montrer par récurrence pour $n \geqslant 1$

$\prod\limits_{k = 1}^n {(1 + \frac{1}{k}} {)^k} = \frac{{{{(n + 1)}^n}}}{{n!}}$

Initialisation: n = 1 –> 2 = 2 , OK!. Récurrence: n = l

$\prod\limits_{k = 1}^l {(1 + \frac{1}{l}} {)^l} = \frac{{{{(l + 1)}^l}}}{{l!}}$ (hypothèse notée (H) - supposé vrai).

n = l + 1

$\prod\limits_{k = 1}^{l + 1} {(1 + \frac{1}{{l + 1}}} {)^{l + 1}} = \frac{{{{(l + 2)}^{l + 1}}}}{{(l + 1)!}}$

Je ne vois pas par quoi multiplier pour arriver à la conclusion. Des pistes ? Le plus facile est-il de jouer sur le symbole "produit" (si oui, comment jouer dessus ?) ou de partir de la droite ?

Merci!

Euh, déjà tes variables d'indices sont fausses à partir de l'initialisation. C'est pour ça que tu vois pas. Le problème c'est que dans ta formule avec le signe produit y'a pas de $k$ qui apparaît, relis-toi.

Je crois que l'hypothèse correcte est :

$\prod\limits_{k = 1}^l {(1 + \frac{1}{k}} {)^k} = \frac{{{{(l + 1)}^l}}}{{l!}}$ pour $n=l$ avec $n \geqslant 2$

et tu cherches à démontrer que :

$\prod\limits_{k = 1}^{l + 1} {(1 + \frac{1}{{k + 1}}} {)^{k + 1}} = \frac{{{{(l + 2)}^{l + 1}}}}{{(l + 1)!}}$

Tout d'abord Grimur à raison, une faute d'inattention est si vite arrivée… Ensuite si tu ne trouves toujours pas…

Merci.

Je ne vois toujours pas. Faut-il utiliser certaines opérations sur le symbole "produit" pour y arriver ? Je découvre à peine ce symbole et j'ai du mal à l'utiliser!

Effectivement, je ne me suis pas bien relu non plus… Désolé :S

Merci ! Je crois que j'y suis.

$\prod\limits_{k = 1}^n {(1 + \frac{1}{k}} {)^k}.{(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}} = \frac{{{{(n + 1)}^n}}}{{n!}}.{(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}}$

$\prod\limits_{k = 1}^{n + 1} {(1 + \frac{1}{k}} {)^k} = \frac{{{{(n + 1)}^n}}}{{n!}}.{(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}} = \frac{{{{(n + 2)}^n}}}{{(n + 1)!}}$ , cqfd.

On peut le voir en écrivant $1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}$. Le produit vaut $\frac{2^1 \times 3^2 \times \cdots \times (n+1)^n}{1^1 \times 2^2 \times \cdots \times n^n}$. Ça fait un produit télescopique, avec à chaque étape un $n$ qui ressort au dénominateur. C'est la même chose que ta récurrence dit autrement.