Nombres complexes

Demonstration

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Auteur du sujet

Salut,

En contrôle j'ai du démontrer quelque chose où je n'ai pas trouver. Pour réviser, je l'ai refait, mais je n'y arrive toujours pas. J'ai contrôlé avec scilab la réponse du sujet et évidemment elle est bonne, mais je n'arrive pas à retomber dessus. Quelqu'un pourrait m'éclaircir svp?

L'énoncé: A tout point M différent de A, et d'affixe z, , on associe le point M' d'affixe z' donnée par

$$z'= \frac{2z-4}{\bar{z}-2}$$

La question:

Démontrer que $|z'|$ = 2. Que peut-on en déduire sur la position du point M?

$$z'= \frac{2(a+bi)-4}{a-bi-2}$$
$$z'= \frac{(2a+2bi-4)(a-2+bi)}{(a-2-bi)(a-2+bi)}$$
$$z'= \frac{2a^2 -4a +2abi +2abi-4bi +2b^{2}i^2 -4a +8 -4bi }{(a-2)^2 + b^2}$$
$$z'= \frac{2a^2 -8a -2b^2 +8 +4abi -8bi }{(a-2)^2 + b^2}$$
$$z'= \frac{2(a - 2)^2 -2b^2 +4abi -8bi }{(a-2)^2 + b^2}$$

Voilà où je bloque..

Merci d'avance !

Vive la science

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Bonjour,

Tu t'es lancé trop vite dans les calculs AMA. Tu ne remarques rien entre le dénominateur et le numérateur ?

Il n'y a quasiment aucun calcul à faire, si tu écris plus de 5 lignes c'est que tu cherches trop compliqué.

NB: Je préfère essayer de te mettre sur la voie plutôt que de te donner la solution, mais si tu la veux directement c'est toi que décide.

Édité par Freedom

Pose $\theta\in\mathbb{R}$ tel que $z-2=|z-2|e^{\imath\theta}$. Qu'en déduis tu sur $\overline{z}-2$ ? Puis sur $z^{\prime}$ ?

Ce qu'il fallait remarquer c'est que $z-2$ apparaît au numérateur ($\times 2$) et au dénominateur (le conjugué). D'où ce que j'ai posé.

Édité par Freedom

Auteur du sujet

On a pas encore vu la forme exponentielle, on s'est arrêté aux modules (on reprendra la suite des complexes au mileu d'année).

C'est le - qui m'embête mais je ne trouve pas comment l'enlever. Merci pour l'aide en tout cas, je me sens super bête là..

Pourquoi on peut dire que $z -2 = \bar{z} -2$ ? $-bi \neq bi$ non?

Édité par Unknown

Vive la science

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Sans passer par la forme exponentielle, remarque que le conjugué de $z-2$ est $\bar{z}-2$. Que peux-tu en déduire ?

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Pourquoi on peut dire que $z -2 = \bar{z} -2$ ? $-bi \neq bi$ non?

Unknown

On ne peut pas, je ne crois pas que quelqu'un ai dit ça d'ailleurs.

Sans la notation complexe, on est pas loin quand même (c'est même plus simple), factorise par $2$, puis utilises $|\frac{ab}{c}|=\frac{|a||b|}{|c|}$ et ça devrait se simplifier tout seul.

Édité par Freedom

Auteur du sujet

J'étais parti dans l'idée que je devais trouver le 2 sans passer par le module de z'… J'ai compris grâce à vous. J'ai peut être trop fait de maths pour aujourd'hui (9h-21h)..

Merci en tout cas.. Je fais beaucoup d'oublis de principe de base de ce type, ça m'énerve !

Édité par Unknown

Vive la science

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