Application linéaire / Colonne pivot

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Auteur du sujet

Chers Matheux,

J'ai des petites questions en algèbre linéaire par rapport à des choses que je n'ai pas forcément pas comprises.

  1. On dit qu'une application linéaire T est surjective s'il existe des solutions. En gros si la matrice associée à l'application possède 1 pivot par ligne.

  2. On dit qu'une application linéaire T est injective s'il existe une solution (unicité). Donc, on doit avoir dans la matrice associée à l'application 1 pivot par colonne.

C'est surtout le terme pivot par colonne qui me dérange. (pivot par ligne je comprends). Est-ce qu'un pivot par colonne peut être différent de 1 ? De plus, j'ai toujours un peu de mal à voir les pivots par colonnes… Quelles sont les règles (0 en dessous/au dessus du pivot, etc.) ?
Prenons par exemple:

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right]$$

Est-ce une matrice contenant un pivot par colonne ? Si non, pourquoi ?

Moi j'aurais dis que non et qu'elle est donc ni injective ni surjective (si on considère qu'il s'agit de la matrice associée à une app. lin.) Même si ma réponse est correcte, je préfère avoir des éclaircissements car ça m'embrouille souvent :)

Prenons maintenant celle-ci:

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1\\ 1&{ - 1} \end{array}} \right]$$

"Intuitivement" j'aurais dis qu'elle contient toutes des colonnes pivots mais toutes ses lignes ne possèdent pas de pivot par ligne (ça je vois pourquoi ! cf. la dernière ligne). Ainsi si on l'associait à une application linéaire, elle serait injective.

Merci d'avance! :)

Édité par ZDS_M

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On dit qu'une application linéaire T est injective s'il existe une solution (unicité).

Tu peux aussi dire « une unique solution », ce qui est plus clair.

Sinon je comprends rien à ces histoire de pivot ligne ou colonne. J'ai pas l'habitude de raisonner comme ça.

À vue de nez, ta première matrice n'est pas celle d'une application injective parce que la deuxième colonne est le produit de la première avec $-1$.

La seconde l'est parce que les deux vecteurs colonnes sont clairement indépendants.

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Auteur du sujet

Ok! Merci. Sinon, plus généralement quand on parle de colonne pivot dans une matrice ça donnerait ceci ? (j'ai pris une matrice 3x3 où toutes les colonnes seraient des colonnes pivots donc aussi les lignes)

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&*&*\\ 0&1&*\\ 0&0&1 \end{array}} \right]$$

(* coefficients quelconques qui peuvent être nuls!)

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