Application linéaire / Colonne pivot

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Auteur du sujet

Chers Matheux,

J'ai des petites questions en algèbre linéaire par rapport à des choses que je n'ai pas forcément pas comprises.

  1. On dit qu'une application linéaire T est surjective s'il existe des solutions. En gros si la matrice associée à l'application possède 1 pivot par ligne.

  2. On dit qu'une application linéaire T est injective s'il existe une solution (unicité). Donc, on doit avoir dans la matrice associée à l'application 1 pivot par colonne.

C'est surtout le terme pivot par colonne qui me dérange. (pivot par ligne je comprends). Est-ce qu'un pivot par colonne peut être différent de 1 ? De plus, j'ai toujours un peu de mal à voir les pivots par colonnes… Quelles sont les règles (0 en dessous/au dessus du pivot, etc.) ?
Prenons par exemple:

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right]$$

Est-ce une matrice contenant un pivot par colonne ? Si non, pourquoi ?

Moi j'aurais dis que non et qu'elle est donc ni injective ni surjective (si on considère qu'il s'agit de la matrice associée à une app. lin.) Même si ma réponse est correcte, je préfère avoir des éclaircissements car ça m'embrouille souvent :)

Prenons maintenant celle-ci:

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1\\ 1&{ - 1} \end{array}} \right]$$

"Intuitivement" j'aurais dis qu'elle contient toutes des colonnes pivots mais toutes ses lignes ne possèdent pas de pivot par ligne (ça je vois pourquoi ! cf. la dernière ligne). Ainsi si on l'associait à une application linéaire, elle serait injective.

Merci d'avance! :)

Édité par ZDS_M

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

On dit qu'une application linéaire T est injective s'il existe une solution (unicité).

Tu peux aussi dire « une unique solution », ce qui est plus clair.

Sinon je comprends rien à ces histoire de pivot ligne ou colonne. J'ai pas l'habitude de raisonner comme ça.

À vue de nez, ta première matrice n'est pas celle d'une application injective parce que la deuxième colonne est le produit de la première avec $-1$.

La seconde l'est parce que les deux vecteurs colonnes sont clairement indépendants.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Ok! Merci. Sinon, plus généralement quand on parle de colonne pivot dans une matrice ça donnerait ceci ? (j'ai pris une matrice 3x3 où toutes les colonnes seraient des colonnes pivots donc aussi les lignes)

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&*&*\\ 0&1&*\\ 0&0&1 \end{array}} \right]$$

(* coefficients quelconques qui peuvent être nuls!)

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Staff

Colonne pivot je ne sais pas ce que ça signifie.

Mais si je devais deviner ce que ça signifie je dirais qu'une fois échelonnée, chaque colonne admet un coefficient non nul. (À prendre avec des mini-pincettes)

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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