Engendrement vs Indépendance linéaire

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Auteur du sujet

Hello,

Désolé de vous embêter encore avec ces histoires d'engendrement et d'indépendance. Le problème cette fois c'est que j'ai l'impression qu'il y a (à mon sens) une différence avec ce que le prof a dit en cours et ce qu'une assistante m'a dit en salle d'exo. Le soucis c'est qu'ils me semblent tous les deux au même niveau donc qui croire ? ;)

Voici la définition du prof:

Un ensemble de vecteurs $\left\{ {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_2}} ,...,\overrightarrow {{v_k}} } \right\}$ de ${R^n}$ est linéairement indépendant (ou libre) si l'équation vectorielle homogène

${x_1}{\overrightarrow v _1} + ... + {x_k}\overrightarrow {{v_k}} = \overrightarrow 0 $ admet uniquement la solution triviale.

Définition de l'assistante:

Un ensemble de vecteurs $\left\{ {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_2}} ,...,\overrightarrow {{v_k}} } \right\}$ est linéairement indépendant si la matrice associée possède un pivot par colonne. Ce qui est clairement différent car ici les vecteurs seraient indépendants mais si j'écris l'équation vectorielle j'ai une ligne de 0 en bas et donc une infinité de solutions!

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right]$$

Merci d'avance :)

Édité par ZDS_M

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Qu'entends-tu par pivot ?

mais si j'écris l'équation vectorielle j'ai une ligne de 0 en bas et donc une infinité de solutions!

Une infinité de solutions à quoi ? Au système matriciel $AX = (0)$, où $A$ est la matrice que tu donnes et $X = (x, y)$ un vecteur de $\mathbb R^2$, associé à une matrice colonne ? Tu n'as pas une infinité de solutions, mais une seule : $X = (0)$ (la dernière ligne dit juste $0 \times x + 0 \times y = 0$). :)

Édité par Vayel

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