Quelques questions sur les interférences

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Bonjour à tous,

J'aurais quelque questions à propos des interférences (niveau physique de Terminale S). On a appris cette formule pour calculer la différence de marche :

$$ \delta = k \times \lambda $$

Déjà ici, trois questions :

  • Qu'est ce qu'une différence de marche ? J'ai crû comprendre que c'était, en gros, la différence des trajets parcouru par les ondes.
  • C'est quoi $k$ ?! Comment suis-je sensé trouver un coefficient ?
  • Enfin, comment interpréter $\delta$ ? J'ai compris que si il était égal à $0$, alors l'interférence était constructive (la frange est brillante) mais autrement ?

Ensuite, on a fait un exercice aujourd'hui auquel je n'ai rien compris.

Deux fentes sont distantes de $a_{1-2} = 0,20mm$ et elles sont éclairées par un faisceau laser d'une longueur d'onde de $\lambda = 680nm$ On observe la figure d'interférence sur un écran placé à $D = 1,20m$ des fentes.

La première question était "La frange centrale est-elle brillante ou sombre ?". Nous avons trouvé brillante car $\lambda = 0$. On a simplement multiplié la différence de distance de trajet à la longueur d'onde. Serais-ce $k$ ? Ça m'étonnerais, il n'est pas sensé avoir d'unité (or une soustraction de distance à toujours une unité…).

Enfin, on nous dit qu'en un point $M$ d'abscisse $x$, la différence de marche est donnée par la formule :

$$ \delta = \frac{a_{1-2}x}{D} $$
Et alors là c'est la fête, voici ce que j'ai sur mon cahier :

tranche sombre $\Rightarrow$ $\delta = (2k+1)\frac{\lambda}{2}$ (Bon ça d'accord, c'est mon cours, une interférence destructive, donc une frange sombre, ça se tient).

Comme on se trouve à la première frange, $k = 0$.
Donc :

$$ \delta = \frac{\lambda}{2} = \frac{a_{1-2}x}{D} \\ x = \frac{\lambda \times D}{2 \times a_{1-2}} \\ x = 2,0 \times 10^{-3}m \\ x = \frac{i}{2} \\ i = 2x \\ i = 4,1mm $$
La première ligne, il n'y a pas de problème. La deuxième ligne je n'ai aucune idée du comment elle a été trouvée, j'ai beau faire l'équation, impossible de tomber sur le bon résultat.
Pour finir, $x = \frac{i}{2}$ je ne sais pas d'où ça sort…

Ça fait pas mal de questions, je sais ! Donc merci de votre lecture et de vos réponses !

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

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Auteur du sujet

Bon pour le $k$ j'ai enfin compris. En fait c'est pas lui la différence de marche, mais $\delta$. Ça c'est parfaitement clair dans ma tête désormais. Mais il me reste toujours les problèmes de l'exercice… :(

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

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On a:

$$ \frac{λ}{2}=\frac{a_{1-2}x}{D} $$
$$ \frac{λ * D}{2}=a_{1-2}x $$
$$ \frac{\frac{λ * D}{2}}{a_{1-2}}=x $$
$$ x = \frac{λ * D}{2} * \frac{1}{a_{1-2}} $$
$$ x = \frac{λ * D}{2 * a_{1-2}} $$

Le reste j'ai pas encore fait, je peux pas répondre :p

Vive la science

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Il faut bien comprendre ce que c'est qu'une interférence.

Interférences

Tu as deux sources de lumière synchrones et en phases. On va considérer la lumière comme une onde progressive et on note $c$ sa célérité.

on a

$$ s_A(\text{en A}, t) = S_A \cos(\omega t) \\ s_B(\text{en B}, t) = S_B \cos(\omega t) \\ $$

Donc

$$ s_A(\text{en M}, t) = s_A(\text{en A}, t - D_1 / c) = S_A \cos(\omega (t - D_1 / c))\\ s_B(\text{en M}, t) = s_B(\text{en B}, t - D_2 / c) = S_B \cos(\omega (t - D_2 / c))\\ $$

Si on note $s(t)$ le signal en M, on a :

$$ s(t) = s_A(\text{en M}, t) + s_B(\text{en M}, t)\\ = S_A \cos(\omega (t - D_1 / c)) + S_B \cos(\omega (t - D_2 / c)) $$

Le déphasage entre le signal émit de A et celui émit de B vaut donc

$$ (\omega t - \frac{\omega D_2}{c}) - (\omega t - \frac{\omega D_1}{c}) = \frac{2\pi(D_1 - D_2)}{\lambda} $$

(là il faut me croire :p)

Dans la suite k est un entier relatif. Ainsi si $D_1 - D_2 = k \times \lambda$ on a une interférence constructive et si $D_1 - D_2 = (k + 1/2) \times \lambda$ on a une interférence destructive.

Dans le cas de ton exemple on utilise la diffraction pour avoir deux sources de lumières synchrones et en phase.

Interférences + diffraction

Pour faciliter tout ça on notera $AM = D_1$ et $BM = D_2$. la distance AB vaut $d$. Le point M se balade sur l'axe des x.

On a une interférence constructive en M si $D_1 - D_2 = k \lambda$.

Or $D_1 - D_2 \approx d \sin \theta$ (On prends le parti que $\theta$ est petit, car la distance entre les fentes et l'écran doit être grande devant la distance entre les deux fentes). De plus si $\theta$ est petit, $\sin \theta \approx \theta$.

Donc : $D_2 - D_1 = -k \lambda \approx d \theta$

Et, si $k'$ est un entier relatif : $\theta \approx k' \frac{\lambda}{d}$

Si on note $x$ la position du point M, on a : $\tan \theta = \frac{x}{D}$. Or $\theta$ est petit, donc $\tan \theta \approx \theta$. On a donc la position des interférences constructives $ x=k' \frac{\lambda D}{d}$ et la distance entre deux interférences constructives est donc de $\frac{\lambda D}{d}$ c'est ton interfrange ;) .

EDIT : J'ai oublié de le préciser, mais $D$ est la distance entre les deux fentes et l'écran ^^

Édité par klafyvel

Sivigik c'est juste ! | Un article sur le NE555

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Auteur du sujet

Whaou merci de ta réponse !

J'ai pas trop compris ton introduction (dès que je vois un sinus, un cosinus, une tangente ou $\pi$, mon cerveau a tendance à bloquer), mais le reste est à peu près clair. Petite question quand même :

Le point M se balade sur l'axe des x.

Sur l'axe vertical de l'écran plutôt, non ? Si M se balade sur les x, ça signifie que l'écran bouge également ce qui me parait… bizarre. :-°

Et j'ai également compris pourquoi $x = \frac{i}{2}$. On divise l'interfrange par deux, tout simplement ! :D

Merci beaucoup de votre aide.

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

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