Problème sur les vecteurs

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Auteur du sujet

Bonjour, ça fait un moment que je bloque sur ce problème, j'ai l'impression que mon raisonnement n'est pas juste :

On considère les points A(7 ; -1) et B(-7 ; 4), déterminer les coordonnées des pts d'intersection de la droite AB avec les axes du repère :

Mon raisonnement :

$\vec{AB} \begin{pmatrix} -7 - 7 \\ 4 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 \\ 5 \end{pmatrix}$

Soit M qui appartient à (AB) avec :

$\vec{AB} \begin{pmatrix} Xm - 7 \\ Ym + 1 \end{pmatrix}$, d'où :

$ (-14) (Ym + 1) - (5) (Xm - 7) = 0 \Leftrightarrow -14Ym - 14 - 5Xm - 35 =0 $

$ \Leftrightarrow 5Xm - 14Ym - 49 = 0$

Donc l'équation de droite y de (AB) = mx + p avec :

$ y = \dfrac {-a}{b}x - \dfrac{c}{b} = \dfrac {5}{14}x - \dfrac{7}{2} $

$ Y = 0 \Leftrightarrow x = 9.8$

Ainsi P1 (avec l'axe des ordonnées) $(0 ; \dfrac{7}{2})$ et P2 (l'axe des abscisses) $(9.8 ; 0)$

Merci pour votre aide. ;-)

Éternel curieux

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L'idée de départ est bonne. Attention au calcul du déterminant. Si tu prends le point $M(x,y)$ appartenant à $(AB)$, le déterminant est

$$5(x-7) + 14(y+1)$$
. Maintenant il faut réduire jusqu'à avoir un bidule de la forme $ax+by+c=0$. C'est l'équation cartésienne de ta droite. J'ai trouvé que tu te compliquais la tâche inutilement une fois cette équation obtenue. Il te suffit d'injecter $x=0$ pour obtenir l'intersection avec l'axe des ordonnées, idem pour $y$. Essaie de faire ça et montre ce que ça donne.

Sur la forme, j'ai trouvé ta rédaction peu claire. Je te donne la mienne:

  • Calculons un vecteur directeur de la droite. Blabla
  • Soit $M(x, y)$ appartenant à $(AB)$. Les vecteurs AB et AM (donner son expression) sont alors colinéaires, donc leur déterminant est nul. Blabla calculer le déterminant et réduire pour obtenir l'équation cartésienne.
  • Pour trouver l'intersection avec l'axe des ordonnées, on injecte $x=0$. Donner le point obtenu; idem pour $y$.

Édité par anonyme

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Une manière faire est de voir l'abscisse du point d'intersection avec l'axe des abscisses (par exemple) comme le barycentre de $7$ pondéré par $4$ et $-7$ pondéré par $1$. On le voit en translatant la droite $(AB)$ de haut en bas : le point d'intersection dépend linéairement de cela, on interpole entre quand le point d'intersection est $A$ et quand c'est $B$. On fait pareil pour l'axe des ordonnées. Du coup, on voit que tu t'es un peu trompé (déjà, tout va être positif).

On peut aussi faire avec des déterminants pour projeter un point sur une droite selon une direction (si on a un ensemble de vecteurs A donnant la direction de la projection, l'aire du volume déterminé par A et un vecteur v est invariant sous translation de v selon un vecteur de A).

Édité par blo yhg

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Auteur du sujet

Donc j'obtient les points suivants :

$a(0 ; \dfrac{3}{2})$ et $a'(4,2 ; 0)$

Ozmox

C'est édité, l'erreur provient de la somme de $5x$ et $14y$ lors du développement de $5(x−7)+14(y+1)$, j'avais simplement fait une différence.

J'ai une autre question où je bloque, merci en attendant de m'avoir aider jusqu'ici. :-)

C'est à propos de le relation de Chasles, et là, je sèche vraiment :

$\vec{AM}-\vec{BM} + 2\vec{MC} = \vec{AB} + \vec{AC}$

En utilisant la relation de Chasles, exprimer le vecteur AM à l'aide de vecteurs formés des point A, B et C uniquement.

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Bon, j'avais rédigé ça :

Question : que veux-tu ? Une équation équivalente à celle que tu as marqué, avec d'un côté $\overrightarrow{AM}$ et de l'autre des vecteurs comme $\overrightarrow{AB}$, etc. Tu veux donc écrire une équation équivalente en utilisant uniquement $4$ vecteurs… Ne peux-tu pas exprimer chacun des vecteurs apparaissant dans ton équation avec ces $4$ vecteurs ? edit : ah, mais ce qui est dit juste au-dessus par Grimur est un peu moins général (une idée est de prendre $A$ comme « origine » et d'exprimer tout vecteur comme différence de deux points, en pensant à un point comme un vecteur partant de l'origine)

Un truc intéressant : on peut voir un vecteur comme la différence de deux points (somme des coefficients = 0). On peut également construire un nouveau point en faisant le barycentre de plusieurs points (somme des coefficients = 1). Comment unifier cela ? (j'avais commencé une explication mais c'est trop long)

Édité par blo yhg

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En fait l'énoncé te disait exactement comment il fallait faire. Si on te dit "exprime bidule" d'abord tu isole bidule et ensuite tu réfléchis à comment simplifier. Je ne dis pas de foncer tête baissée, mais quand on ne voit pas ce qu'il se passe il faut essayer de se rapprocher un peu de la solution, quitte à remplir sa corbeille :D

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Auteur du sujet

Un autre problème, cette fois-ci sur les fonctions de références, par très compliqué mais juste une question de réaction : On demande d'étudier $f(x) = \sqrt{1-2x}$ sur $I = ]-inf ; \dfrac{1}{2}[$, donc j'établi un tableau de variation mais comme la racine existe si $1-2x > 0$, alors elle ne varie pas sur I, qu'écrire ainsi?

Éternel curieux

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J'ai pas très bien compris ce que tu voulais dire : mais la racine existe bel et bien pour $x \in \ ]-\infty, \frac{1}{2}[$. On aurait même pu demander $I = \ ]-\infty, \frac{1}{2}]$ je pense.

Édité par Nobody

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Moi non plus j'ai rien compris. Il faut vérifier que la racine existe sur I, ce qui se fait avec la positivité, puis regarder les variations de $1-2x$ sur $I$. Ensuite on compose par la racine qui est elle strictement croissante sur son ensemble de définition.

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