Intégrale

Bonjour,

Je dois calculer $\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + x + 1}}} $

et j'y arrive pas.

Je pensais décomposer en éléments simples mais c'est pas possible (delta négatif)

Puis j'ai essayé de décomposé ça un peu:

$\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + x + 1}}} = \int {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2} - x}}} $

Mais je vois pas trop, ça donne rien.

Merci d'avance!

Ça devrait s'intégrer en Arctan(…) ce genre de machin. Il faut commencer par mettre le dénominateur sous forme canonique. Sachant que $\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}$, il y a quelques manip à faire mais ça devrait fonctionner.

je vois vraiment pas comment faire Pourquoi ça ne pourrait pas être autre chose qu'une Arctan(…) ?

Par unicité ? Si ça marche avec, c'est que c'est comme ça, les autres formes ne seront que des reformulations d'un même résultat.

Comment faire ? Mets ton polynôme sous forme canonique et conclut comme conseillé.

Merci. J'ai ceci:

$\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + x + 1}}} = \int {\frac{{dx}}{{{{(x + \frac{1}{2})}^2} + \frac{3}{4}}}} = \frac{3}{4}\int {\frac{{dx}}{{{{(\frac{2}{{\sqrt 3 }}u)}^2} + 1}}} = \frac{3}{4}{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{2}{{\sqrt 3 }}u) = \frac{3}{4}{\mathop{\rm Arctan}\nolimits} (\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }}) + K$

(avec le changement de variable u = x+1/2). Est-ce correct ? Wolfromalpha ne me donne pas le même résultat

Nope. C'est ça l'idée mais tu as fait des erreurs de calculs. Déjà le $3/4$ est faux, et en plus tu n'as pas fait ton changement de variable correctement (à l'étape où tu écris machin $= Arctan()$). Tu es sur la bonne piste, le principe tu l'as compris, c'est juste des erreurs de calcul. Va moins vite et détaille le plus possible tes calculs.

Quand tu fais du changement de variable pour aller de $x$ en $u$ il faut pas oublier que $du$ c'est toujours quelque chose fois $dx$. Quand je rédige un changement de variable, j'écris toujours au-dessus du signe $=$ l'expression de la nouvelle variable $u$ en fonction de l'ancienne $x$ et celle de $dx$ en fonction de $du$, et puis je remplace.

EDIT: j'ai vérifié, je tombe sur pile le résultat que donne Wolfram en faisant ton calcul mais avec mes modifications.