Calcul d'une somme de série

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Je dois calculer $\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n(n + 5)}} } $ J'étais parti sur la bonne piste de décomposer en éléments simples mais je n'arrive pas à finir le travail, en gros je ne comprends pas bien les deux dernières étapes du corrigé:

$\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n(n + 5)}} = } \sum\limits_{n = 1}^P {(\frac{1}{{5n}} - \frac{1}{{5(n + 5)}}) = } \frac{1}{5}\sum\limits_{n = 1}^P {(\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 5}}) = } \frac{1}{5}(\sum\limits_{n = 1}^P {\frac{1}{n}} - \sum\limits_{n = 6}^{P + 5} {\frac{1}{n}} ) = \frac{1}{5}\sum\limits_{n = 1}^5 {\frac{1}{n}} $

C'est vraiment ces deux dernières étapes avec les changements de bornes que j'ai du mal à capter !

Si vous pouviez m'aider ça serait super! :)

Édité par ZDS_M

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Staff

Salut,

Pour mieux comprendre le changement de bornes, pose $m=n+5$ et réecrit la deuxième somme en utilisant $m$.

PS : tu as oublié de faire tendre $P$ vers l'infini, sinon la toute dernière étape ne marcherait évidemment pas.

Édité par adri1

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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Staff

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Les changements de bornes se font par un changement de variables.

Si par exemple tu as $\sum_{n=1}^{n=P} \frac{1}{n+5}$ , alors que se passe-t-il si tu poses $m=n+5$ ?

A partir de $m=n+5$ tu peux en déduire que $n=m-5$.

Si tu fais le remplacement brute dans la formule tu as : $\sum_{m-5=1}^{m-5=P} \frac{1}{m}$

A partir de là, tu en déduis que : $\sum_{m=6}^{m=P+5} \frac{1}{m}$

Maintenant, il se trouve que la variable $m$ est muette ou en jargon d'informaticien, elle est liée. En particulier elle est liée à l'opérateur $\sum$. Quand on a affaire à une variable liée, son nom a peu d'importance. Je l'ai appelé $m$, mais je pourrais l'appeler $a$ ou $b$ ou $truc$. Bref, le nom $m$ on s'en fiche. Du coup, dans ma formule finale, je peux remplacer ce nom par $n$.

Dans le corrigé, la derniere étape cache en réalité deux étapes : - un changement de variable en posant $m=n+5$ - un renommage en posant $m=n$ (afin de garder le même indice)

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Salut,

La première et la dernière égalité n'ont pas vraiment de sens. En fait, il faut clairement identifier plusieurs étapes de calcul ici :
(i) On cherche à calculer la somme de la série.
(ii) On passe aux sommes partielles, ie. on cherche la valeur de $\sum_{n=1}^{P}\frac{1}{n(n+5)}$ pour tout $P \ge 1$.
(iii) On passe à la limite, ie. on obtient la somme de la série comme la limite des sommes partielles.

Pour le changement de bornes, écrivons avec les points de suspension, c'est peut-être plus clair (et encore plus avec un bout de papier, mais tant pis) :

$$\sum_{n=1}^{P}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+5}\right)=\sum_{n=1}^{P}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{P}\frac{1}{n+5} =\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{P-1}+\frac{1}{P}-\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\ldots+\frac{1}{P+4}+\frac{1}{P+5}\right) =\frac{1}{1}+\ldots+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{P}\right)-\left(\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{P}\right)-\left(\frac{1}{P+1}+\ldots+\frac{1}{P+5}\right) =\frac{1}{1}+\ldots+\frac{1}{5}+\frac{1}{P+1}+\ldots+\frac{1}{P+5}$$

Or :

$$\frac{1}{P+1}+\ldots+\frac{1}{P+5} \underset{P\to +\infty}{\longrightarrow} 0$$

Puis on passe à la limite $\left(P \to +\infty\right)$, dans la première égalité, ce qu'on peut faire car le terme de droite admet bien une limite :

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+5}\right)=\frac{1}{1}+\ldots+\frac{1}{5}=\sum_{n=1}^{5}\frac{1}{n}$$

Édité par Lucas-84

Auteur du sujet

Merci beaucoup à tous! C'est beaucoup plus clair et j'ai bien compris le changement de bornes. J'ai perso besoin de l'écrire mais après ça risque de venir avec l'habitude :D Une autre petite question concernant ce symbole somme. Dans une série de Taylor j'ai dû dire si elle convergait ou non et gros je tombais sur ceci $\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } 1 $ et l'assistant m'a dit que ça diverge car c'est 1 + 1 + … + 1 jusqu'à l'infini. Perso, je n'ai pas compris ceci de la même façon et pour moi quand il n'y a pas l'indice "n" (ici) qui est dans la formule après c'est comme s'il ne servait à rien et donc je m'étais dis $\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } 1 = 1$ Quelqu'un peut m'expliquer ? :p

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C'est déjà vrai sur les sommes finies « classiques » de la forme $\sum_{i=1}^{n}u_i$ :

$$\sum_{i=1}^{10}1=10$$

Essentiellement, on peut l'expliquer directement avec la définition. Une manière possible de définir la chose (dans un monoïde commutatif, disons qu'on veut sommer des réels par exemple) : $\sum_{i=1}^{0}u_i=0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$\sum_{i=1}^{n+1}u_i=u_{i+1}+\sum_{i=1}^{n}u_i$$

En prenant $(u_i)_{1 \le i \le n} = (1)_{1 \le i \le n}$, on obtient bien :

$$\sum_{i=1}^{n}1=n$$

C'est un peu bizarre d'expliquer ça avec la définition, je te l'accorde. Mais il faut bien voir qu'on fait tout ça pour que ça colle naturellement avec ce qu'on aimerait que $\Sigma$ soit (avec des propriétés comme la linéarité, etc.). Par exemple, ça nous arrange bien que :

$$\sum_{i=1}^{10}1=\underbrace{1+1+\ldots+1}_{10 \text{fois}}=10$$

Il ne faut pas oublier qu'à l'origine, on veut écrire efficacement la sommation d'un nombre « arbitrairement grand » de termes.

ÉDIT : Un petit rajout.

Édité par Lucas-84

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Merci beaucoup à tous! C'est beaucoup plus clair et j'ai bien compris le changement de bornes. J'ai perso besoin de l'écrire mais après ça risque de venir avec l'habitude :D Une autre petite question concernant ce symbole somme. Dans une série de Taylor j'ai dû dire si elle convergait ou non et gros je tombais sur ceci $\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } 1 $ et l'assistant m'a dit que ça diverge car c'est 1 + 1 + … + 1 jusqu'à l'infini. Perso, je n'ai pas compris ceci de la même façon et pour moi quand il n'y a pas l'indice "n" (ici) qui est dans la formule après c'est comme s'il ne servait à rien et donc je m'étais dis $\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } 1 = 1$ Quelqu'un peut m'expliquer ? :p

ZDS_M

Sinon pour justifier très simplement, tu peut simplement dire que la suite

$$(1)_{n \in \mathbb{N}}$$
ne tend pas vers 0, donc la série
$$\sum\limits_{n \geq 1} 1$$
diverge grossièrement. (J'imagine que tu dois avoir ça dans ton cours ;) ).

Édité par QuanticPotato

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Une manière de voir ça c'est d'écrire en fonction du nombre de termes la somme de ta série arithmétique et de faire tendre le nombre de termes vers l'infini, tu verras bien la divergence.

De manière générale, un critère nécessaire mais non suffisant de convergence d'une série est la limite en l'infini de son terme général, qui doit être 0.

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